Question

Даны координаты вершин треугольника ABC. A(-19;5) B(5;-2) C(-13;22) построить треугольник по этим вершинам. 1) Найти координаты векторов BA, BC,AC. 2) Найти длины сторон треугольника 3) Найти длины медиан треугольника. Изобразить медианы на рисунке треугольника. 4) Вычислить величины внутренних углов треугольника 5) Написать уравнения сторон треугольника 6) Написать уравнения медиан треугольника 7) Написать уравнения высот треугольника 8) Найти площадь треугольника

Answer 1

Ответ:

ПРИМЕР. В задачах даны координаты точек A,B,C. Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC.

Решение.

1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:

X=xj-xi; Y=yj-yi

здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj

Например, для вектора AB: X=x2-x1=12-7=5; Y=y2-y1=-1-(-4)=3

AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)

2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми. Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

где a1a2=X1X2+Y1Y2

Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.070

8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB. Каноническое уравнение прямой:

или

y=3/5x-41/5 или 5y-3x+41=0

Answer 2

Давайте решим каждый из пунктов по порядку.

1. Найдем координаты векторов BA, BC и AC:

• Вектор BA: BA = A - B = (-19 - 5, 5 - (-2)) = (-24, 7)
• Вектор BC: BC = C - B = (-13 - 5, 22 - (-2)) = (-18, 24)
• Вектор AC: AC = C - A = (-13 - (-19), 22 - 5) = (6, 17)

2. Найдем длины сторон треугольника:

• Длина стороны AB: √((-24)^2 + 7^2) ≈ 25.7099
• Длина стороны BC: √((-18)^2 + 24^2) ≈ 30
• Длина стороны AC: √(6^2 + 17^2) ≈ 17.4642

3. Найдем длины медиан треугольника:

Медианы треугольника проводятся из вершин к серединам противоположных сторон. Пусть D - середина стороны BC, E - середина стороны AC, F - середина стороны AB.

• Длина медианы AD: Для этого найдем среднее арифметическое координат вершин B и C. AD = (BA + BC) / 2 = (-24/2, 7/2) = (-12, 3.5)

• Длина медианы BE: BE = (BA + AC) / 2 = (-9, 11.5)

• Длина медианы CF: CF = (BC + AC) / 2 = (-6, 13)

4. Вычислим величины внутренних углов треугольника:

Используем теорему косинусов для нахождения углов:

• Угол A: cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC)
• Угол B: cos(B) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB)
• Угол C: cos(C) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)

5. Уравнения сторон треугольника:

• Уравнение стороны AB: уравнение прямой, проходящей через A и B.
• Уравнение стороны BC: уравнение прямой, проходящей через B и C.
• Уравнение стороны AC: уравнение прямой, проходящей через A и C.

6. Уравнения медиан треугольника:

Медианы можно найти, используя координаты вершин и середин противоположных сторон. Уравнения будут уравнениями прямых, проходящих через соответствующие вершины и середины.

7. Уравнения высот треугольника:

Высоты можно найти, используя уравнения сторон и координаты вершин. Уравнения будут уравнениями прямых, перпендикулярных сторонам и проходящих через соответствующие вершины.

8. Найдем площадь треугольника:

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона, если известны длины его сторон:

• Полупериметр: s = (AB + BC + AC) / 2
• Площадь: Area = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC))

Это общие указания по каждому пункту. Если вы хотите более подробные расчеты, пожалуйста, уточните, какие именно шаги вас интересуют.