Question

Решение логарифмических уравнений 1) log2(x-4)<2 2) log1/5(3x-5)-log1/5(x+1)>0 3) log8(x^2-4x+3)<1

Answer 1

1)Log2(x-4)<Log2 4
x-4<4
x<8
(-беск;8)
2)log1/5(3x-5)>log1/5(x+1)
3x-5>x+1
2x>6
x>3
(3;+беск)
3)log8(x^2-4x+3)<log8 8
x^2-4x+3<8
x^2-4x-5<0
D=16-4(-5)=36
x1=4+6/2=5
x2=4-6/2=-1
в промежутке от -1 до 5 отрицательный знак . 
Ответ: (-1:5)

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое из данных логарифмических уравнений по очереди и найдем их решения:

1. log₂(x - 4) < 2

Для начала, выразим логарифм в виде экспоненты:

x - 4 < 2²

x - 4 < 4

Теперь добавим 4 к обеим сторонам:

x < 8

Таким образом, решением данного уравнения будет интервал (-∞, 8).

2. log₁/₅(3x - 5) - log₁/₅(x + 1) > 0

Используем правило логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов равна логарифму отношения аргументов:

log₁/₅((3x - 5)/(x + 1)) > 0

Теперь выразим логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме:

(3x - 5)/(x + 1) > 1

Теперь нам нужно решить это неравенство. Для этого мы можем рассмотреть два случая: когда выражение в левой части больше 1 и когда оно меньше -1.

Случай 1: (3x - 5)/(x + 1) > 1

3x - 5 > x + 1

2x > 6

x > 3

Случай 2: (3x - 5)/(x + 1) < -1

В этом случае мы можем умножить обе стороны на -1, меняя знак неравенства:

-(3x - 5)/(x + 1) > 1

(5 - 3x)/(x + 1) > 1

Теперь, чтобы решить это неравенство, разберемся с числителем и знаменателем:

5 - 3x > x + 1

4x < 4

x < 1

Итак, у нас есть два интервала решений: (-∞, 1) и (3, +∞).

3. log₈(x² - 4x + 3) < 1

Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме:

x² - 4x + 3 < 8

x² - 4x - 5 < 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Мы можем факторизовать его:

(x - 5)(x + 1) < 0

Теперь определим знак выражения внутри скобок для поиска интервалов:

1. x - 5 < 0 => x < 5
2. x + 1 > 0 => x > -1

Теперь определим интервалы, на которых выражение (x - 5)(x + 1) < 0:

-1 < x < 5

Итак, решение данного уравнения - интервал (-1, 5).