Question

Найти общее решение уравнения: y′ +y/x=4

Answer 1

Переписываем уравнение в виде y'+y/x-4=0. Это обыкновенное ЛДУ 1-го порядка, решаем его заменой y(x)=u(x)*v(x), или y=u*v. Тогда y'=u'*v+u*v', и уравнение приобретает вид u'*v+u*v'+u*v/x-4=0, или v*(u'+u/x)+u*v'-4=0. Так как одной из функций u или v можно распорядиться по произволу, то поступим так с функцией u и потребуем, чтобы она удовлетворяла уравнению u'+u/x=0. Отсюда u'=du/dx=-u/x, du/u=-dx/x, ln/u/=-ln/x/, u=-x. Тогда -x*v'-4=0, или v'=-4/x, или dv/dx=-4/x, или dv=-4*dx/x. Отсюда v=-4*ln/x/+4*ln/C/=4*ln/C/x/=ln(C⁴/x⁴) и y=u*v=-x*ln(C⁴/x⁴). 

Answer 2

Это дифференциальное уравнение первого порядка и разделяющихся переменных. Для его решения начнем с переписывания уравнения в виде, удобном для разделения переменных:

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 4$

Переносим $\frac{y}{x}$ на другую сторону:

$\frac{dy}{dx} = 4 - \frac{y}{x}$

Теперь давайте выразим это уравнение в виде, удобном для разделения переменных. Поделим обе стороны на $4 - \frac{y}{x}$:

$\frac{1}{4 - \frac{y}{x}} \frac{dy}{dx} = 1$

Теперь воспользуемся заменой переменных. Пусть $u = \frac{y}{x}$, тогда $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$. Подставим это обратно в уравнение:

$\frac{1}{4 - u} (u + x \frac{du}{dx}) = 1$

Разделим обе стороны на $u + x \frac{du}{dx}$ и перемножим обе стороны на $4 - u$:

$\frac{1}{u + x \frac{du}{dx}} = 4 - u$

Это уравнение можно разделить на две части:

$\frac{1}{u} du = \frac{1}{x} dx$

Интегрируя обе стороны, получаем:

$\ln|u| = \ln|x| + C$

где $C$ - константа интегрирования. Теперь подставим обратно $u = \frac{y}{x}$:

$\ln|\frac{y}{x}| = \ln|x| + C$

Теперь используем свойство логарифмов, что $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$:

$\ln|y| - \ln|x| = \ln|x| + C$

Упростим уравнение:

$\ln|y| = C$

Теперь избавимся от логарифма, взяв экспоненту от обеих сторон:

$|y| = e^C$

Так как константа $C$ может быть любым числом, мы можем заменить $e^C$ новой константой $A$, получая:

$|y| = A$

Это общее решение данного дифференциального уравнения. Решение в явном виде можно записать как:

$y = \pm A$

где $A$ - произвольная константа.