Question

ПОМОГИТЕ!!! 1.с помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции и экстремумы :f(x)=x^4-2x^2+4

Answer 1

Удачи) должно быть понятно

Answer 2

Хорошо, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также её экстремумы, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 4$ с помощью правила дифференцирования.

2. Найдем критические точки, то есть значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует.

3. Используем тест знаков производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции.

4. Найдем вторую производную и используем её для анализа поведения в критических точках.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 4x^3 - 4x$

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $4x^3 - 4x = 0$ $4x(x^2 - 1) = 0$

Это уравнение имеет три корня: $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$.

Шаг 3: Используем тест знаков производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции.

• В интервале $(- \infty, -1)$ выберем точку $x = -2$. Подставим её в $f'(x)$: $f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -16 < 0$. Таким образом, функция убывает на этом интервале.

• В интервале $(-1, 0)$ выберем точку $x = -0.5$. Подставим её в $f'(x)$: $f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 1 > 0$. Таким образом, функция возрастает на этом интервале.

• В интервале $(0, 1)$ выберем точку $x = 0.5$. Подставим её в $f'(x)$: $f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = -1 < 0$. Таким образом, функция убывает на этом интервале.

• В интервале $(1, +\infty)$ выберем точку $x = 2$. Подставим её в $f'(x)$: $f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 16 > 0$. Таким образом, функция возрастает на этом интервале.

Шаг 4: Найдем вторую производную: $f''(x) = 12x^2 - 4$

Теперь проверим поведение в критических точках:

• При $x = -1$: $f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0$, что означает, что функция имеет локальный минимум в точке $(-1, f(-1))$.

• При $x = 0$: $f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0$, что означает, что функция имеет локальный максимум в точке $(0, f(0))$.

• При $x = 1$: $f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0$, что означает, что функция имеет локальный минимум в точке $(1, f(1))$.

Итак, собирая все вместе:

• Функция возрастает на интервалах $(-1, 0)$ и $(1, +\infty)$.
• Функция убывает на интервалах $(- \infty, -1)$ и $(0, 1)$.
• Есть локальный максимум в точке $(0, f(0))$ и локальные минимумы в точках $(-1, f(-1))$ и $(1, f(1))$.

Если вам нужны координаты этих точек, вы можете подставить $x = 0$, $x = -1$ и $x = 1$ в исходную функцию $f(x)$ чтобы получить соответствующие значения $f(x)$.