Question

Помогите решить пожалуйста xy" -y'=x^2cosx , y(π/2)=1, y'(π/2)=π/2

Answer 1

Разделим всё на $x^2$ и заметим, что
$\dfrac{xy''-y'}{x^2}=\left(\dfrac{y'}x\right)'$

Значит, уравнение выглядит просто:
$\left(\dfrac{y'}x\right)'=\cos x$

Интегрируем:
$\displaystyle\dfrac{y'}x=\dfrac{y'(\pi/2)}{\pi/2}+\int_{\pi/2}^x\cos x'\,dx'=1+\sin x-1=\sin x\\ y'=x\sin x$

Второй раз интегрируем:
$\displaystyle y=y\left(\frac\pi2\right)+\int_{\pi/2}^x x'\sin x'\,dx'=1-\int_{\pi/2}^x x'\,d\cos x'=1-x\cos x+\\+\int_{\pi/2}^x \cos x'\,dx=\sin x-x\cos x$

Ответ: $\boxed{y(x)=\sin x-x\cos x}$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение методом вариации постоянной. Уравнение имеет вид:

xy'' - y' = x^2cos(x).

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения xy'' - y' = 0. Это уравнение можно преобразовать к виду:

xy'' = y'.

Теперь представим решение этого уравнения в виде y_h(x) = Cx, где C - некоторая постоянная. Теперь найдем первую и вторую производные:

y'_h(x) = C, y''_h(x) = 0.

Теперь мы можем найти частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A(x)B(x), где A(x) и B(x) - функции, которые нужно найти. Теперь подставим это в уравнение:

xy''_p - y'_p = x^2cos(x).

Теперь найдем y'_p и y''_p:

y'_p = A' B + AB', y''_p = A''B + 2A'B' + AB''.

Подставим эти производные в уравнение:

x(A''B + 2A'B' + AB'') - (A' B + AB') = x^2cos(x).

Теперь разделим на x и упростим:

A''B + 2A'B' + AB'' - (A' B + AB') = xcos(x).

Теперь объединим подобные члены:

A''B + (2A' - A')B' = xcos(x).

Теперь выберем функции A(x) и B(x) таким образом, чтобы левая сторона уравнения равнялась xcos(x). Мы можем выбрать A(x) = x и B(x) = cos(x). Таким образом, мы получаем частное решение:

y_p(x) = xcos(x).

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения (y_h(x)) и частного решения (y_p(x)):

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = Cx + xcos(x).

Теперь нам нужно найти значение постоянной C, используя начальные условия y(π/2) = 1 и y'(π/2) = π/2. Подставим эти условия в уравнение:

1. y(π/2) = C(π/2) + (π/2)cos(π/2) = C(π/2) + 0 = C(π/2) = 1.

Отсюда можно найти C:

C = 1 / (π/2) = 2/π.

Таким образом, окончательное решение уравнения будет:

y(x) = (2/π)x + xcos(x).