Question

Найти общее решение дифференциального уравнения sqrt(1+y^2)dx+sqrt(1+x^2)dy=0

Answer 1

Это простенькое с виду уравнение с разделяющимися переменными создано для того, чтобы наводить ужас и тоску на студентов ещё в начале курса обыкновенных дифференциальных уравнений lol

Разделяем, интегрируем, далее вспоминаем, что существует гиперболический арксинус и ура, решение в явном виде. Удачи вам!

Answer 2

Давайте найдем общее решение данного дифференциального уравнения.

Уравнение:

√(1 + y^2)dx + √(1 + x^2)dy = 0

Чтобы найти общее решение, давайте сначала выразим dy/dx:

√(1 + y^2)dx = -√(1 + x^2)dy

(dy/dx) = -√(1 + y^2)/√(1 + x^2)

Теперь выразим dy и dx:

(dy)/(-√(1 + y^2)) = (dx)/(√(1 + x^2))

Далее, проинтегрируем обе стороны отдельно:

∫(1/√(1 + y^2)) dy = ∫(1/√(1 + x^2)) dx

Интегралы слева и справа можно выразить через обратные тригонометрические функции:

ln|y + √(1 + y^2)| + C1 = ln|x + √(1 + x^2)| + C2

Где C1 и C2 - константы интеграции.

Теперь можно избавиться от логарифмов и выразить y:

|y + √(1 + y^2)| = |x + √(1 + x^2)| * e^(C1 - C2)

Можно объединить константы C1 - C2 в одну константу K:

|y + √(1 + y^2)| = |x + √(1 + x^2)| * e^K

Теперь разберемся с модулями. Возможны два случая:

1. y + √(1 + y^2) = x + √(1 + x^2) * e^K
2. y + √(1 + y^2) = -x - √(1 + x^2) * e^K

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. y + √(1 + y^2) = x + √(1 + x^2) * e^K

Давайте выразим y:

y = x + √(1 + x^2) * e^K - √(1 + y^2)

2. y + √(1 + y^2) = -x - √(1 + x^2) * e^K

И снова выразим y:

y = -x - √(1 + x^2) * e^K - √(1 + y^2)

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения в виде двух различных функциональных зависимостей для y от x, представленных в двух случаях.