Question

Докажите, что при любых a и b выполняется неравенство a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4>=0

Answer 1

a⁴ - 2a³b + 2a²b² - 2ab³ + b⁴ =

a⁴ - 4a³b + 2a³b + 6a²b² - 4a²b² - 4ab³ + 2ab³ + b⁴ =

a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴ + 2a³b - 4a²b² + 2ab³  =

(a - b)⁴ + 2ab(a² - 2ab + b²) =

(a - b)⁴ + 2ab(a - b)² =

(a - b)²((a - b)² + 2ab) =

(a - b)²(a² + b²) >= 0 ∀a,b

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство пошагово. Исходное неравенство:

a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2 - 2ab^3 + b^4 >= 0

Мы можем выразить его в виде суммы квадратов:

(a^4 + b^4) + 2(a^2b^2 - a^3b - ab^3)

Теперь давайте разберемся с каждым слагаемым:

1. (a^4 + b^4) - это сумма двух положительных чисел. Очевидно, что она больше или равна нулю, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

2. Теперь рассмотрим второе слагаемое: 2(a^2b^2 - a^3b - ab^3). Мы можем разложить это выражение следующим образом:

2(a^2b^2 - a^3b - ab^3) = 2ab^2(ab - a^2 - b^2)

Для доказательства неравенства, нам нужно показать, что выражение ab^2(ab - a^2 - b^2) больше или равно нулю.

Обратим внимание на каждое слагаемое в этом выражении:

• ab^2 - это произведение двух неотрицательных чисел и, следовательно, неотрицательно.
• (ab - a^2 - b^2) - это разность трех неотрицательных чисел.

Мы видим, что каждое слагаемое в выражении ab^2(ab - a^2 - b^2) неотрицательно, поскольку они составлены из произведения или разности неотрицательных чисел. Следовательно, всё выражение ab^2(ab - a^2 - b^2) также неотрицательно.

Таким образом, мы доказали, что оба слагаемых в исходном выражении неотрицательны:

1. (a^4 + b^4) >= 0
2. ab^2(ab - a^2 - b^2) >= 0

Следовательно, их сумма также неотрицательна:

(a^4 + b^4) + 2(a^2b^2 - a^3b - ab^3) >= 0

Таким образом, неравенство a^4 - 2a^3b + 2a^2b^2 - 2ab^3 + b^4 >= 0 доказано.