Question

Числа aa и bb натуральные числа таковы, что (a−b)^2 =НОК(a,b). Докажите, что НОД(a,b)>1.

Answer 1

Предположим, что НОД(a, b) = 1, тогда НОК(a, b) = ab:

(a - b)² = ab

a² + b² = 3ab

Если число делится на три, его квадрат тоже делится на 3, в противном случае квадрат даёт остаток 1 от деления на 3. 3ab делится на 3, значит, a  делится на 3 и b делится на 3, но тогда НОД(a, b) = 3. Противоречие. Значит, НОД(a, b) > 1.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное утверждение подробнее и докажем его.

Пусть $\text{НОД}(a, b) = 1$, что означает, что $a$ и $b$ взаимно просты, то есть у них нет общих положительных делителей, кроме 1.

Из условия задачи мы знаем, что $(a - b)^2 = \text{НОК}(a, b)$.

Допустим, $a > b$ (если $a = b$, то $(a - b)^2 = 0$ и $\text{НОК}(a, b) = 0$, что не имеет смысла, поэтому предположим, что $a > b$).

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1. Если $a$ и $b$ чётные: В этом случае $(a - b)^2$ также будет чётным, а значит, их НОК тоже должен быть чётным числом. Однако НОД чётных чисел тоже чётен (он, как минимум, равен 2), и это противоречит условию $\text{НОД}(a, b) = 1$.

2. Если $a$ и $b$ нечётные: Пусть $a = 2x + 1$ и $b = 2y + 1$, где $x$ и $y$ — натуральные числа. Тогда $a - b = 2x - 2y = 2(x - y)$, что означает, что $(a - b)^2$ делится на 4. С другой стороны, НОК $(a, b)$ равен их произведению, делённому на их НОД:

   $$\text{НОК}(a, b) = \frac{ab}{\text{НОД}(a, b)} = \frac{(2x + 1)(2y + 1)}{1} = 4xy + 2x + 2y + 1.$$

   Мы видим, что $\text{НОК}(a, b)$ также имеет остаток 1 при делении на 4.

Таким образом, мы пришли к противоречию в обоих случаях. Это означает, что предположение $\text{НОД}(a, b) = 1$ неверно, и, следовательно, $\text{НОД}(a, b) > 1$.