Question

При каких значениях а уравнение x+4=a/x имеет различные действительные корни

Answer 1

Начнём с обратного - когда уравнение x+4=a/x имеет одинаковые действительные корни? Когда имеется 1 общая точка?

Приравняем x+4=a/x. Получаем (х² + 4х - а)/х = 0.

х² + 4х - а = 0.    Д = (16 - 4*1*(-а))/2 = 8 + 2а = 0.

Отсюда а = -8/2 = -4.

Если а меньше -4, то корней нет.

Получаем ответ: уравнение x+4=a/x имеет различные действительные корни когда а больше -4.

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x + 4 = \frac{a}{x}$ имело два различных действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного уравнения, полученного из этого уравнения, был положительным.

Сначала выразим уравнение в виде квадратного:

$x^2 - ax + 4 = 0$

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a = 1$, $b = -a$ и $c = 4$, так что дискриминант для данного уравнения будет:

$D = (-a)^2 - 4(1)(4) = a^2 - 16$

Чтобы иметь два различных действительных корня, $D$ должен быть больше нуля:

$a^2 - 16 > 0$

Решим это неравенство:

$a^2 > 16$

$a > 4 \text{ или } a < -4$

Итак, уравнение $x + 4 = \frac{a}{x}$ имеет два различных действительных корня при $a > 4$ или $a < -4$.