Question

Помогите найти интеграл (x(arccos^5(x-5))/(arccos^5x(sqrt(1-x^2)))

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, нам потребуется применить метод интегрирования по частям несколько раз. Исходный интеграл:

∫(x * (arccos(x))^5) / ((arccos(x))^5 * √(1 - x^2)) dx

Давайте начнем с замены переменной, чтобы упростить выражение в знаменателе. Обозначим:

u = arccos(x) du = -dx / √(1 - x^2)

Теперь наш интеграл становится:

∫(-x * u^5 / (u^5 * (-du))) = ∫(x/u^4) du

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

∫(x/u^4) du = ∫(x * cos^4(u)) du

Следующим шагом, давайте воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos^2(u) = (1 + cos(2u)) / 2

cos^4(u) = (1 + cos(2u))^2 / 4

Теперь мы можем выразить cos^4(u) через cos(2u):

cos^4(u) = (1 + cos(2u))^2 / 4 = (1 + 2cos(2u) + cos^2(2u)) / 4

Теперь мы можем вычислить интеграл:

∫(x * cos^4(u)) du = ∫(x * (1 + 2cos(2u) + cos^2(2u))/4) du

= (1/4) * ∫(x + 2xcos(2u) + xcos^2(2u)) du

Теперь мы можем интегрировать каждый из этих членов по отдельности:

∫x du = xu + C1, где C1 - произвольная константа

∫2xcos(2u) du = xsin(2u) + C2, где C2 - произвольная константа

Для интеграла ∫xcos^2(2u) du мы можем воспользоваться формулой:

cos^2(2u) = (1 + cos(4u)) / 2

Тогда:

∫xcos^2(2u) du = ∫x * (1 + cos(4u)) / 2 du

= (1/2) * ∫(x + xcos(4u)) du

= (1/2) * ∫x du + (1/2) * ∫xcos(4u) du

Теперь подставляем значения интегралов обратно в исходное выражение:

(1/4) * (xu + C1 + xsin(2u) + C2 + (1/2) * x u + (1/4) * xsin(4u) + C3)

Где C1, C2, и C3 - произвольные константы.

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x:

(1/4) * (x * arccos(x) + C1 + x * sin(2 * arccos(x)) + C2 + (1/2) * x * arccos(x) + (1/4) * x * sin(4 * arccos(x)) + C3)

Это окончательный ответ, где C1, C2 и C3 - произвольные константы интегрирования.