Question

Решите тригонометрическое уравнение: √2cosx-1=0и объясните почему 1/√2 "превратился" в √2/2​

Answer 1

v2cosx=1

cosx=1/v2

x = +-П/4+2Пk, k - целое

1/v2 - просто домножили на v2, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, и получили v2/2

v - корень

Answer 2

Давайте решим уравнение √2cos(x) - 1 = 0:

1. Прибавим 1 к обеим сторонам уравнения:

   √2cos(x) = 1

2. Разделим обе стороны на √2:

   cos(x) = 1/√2

Теперь, чтобы понять, почему 1/√2 превратилось в √2/2, важно знать, что √2 это то же самое, что и 2^(1/2), а 1/√2 - это 2^(-1/2).

Функция косинуса (cos) находит отношение сторон в прямоугольном треугольнике. В треугольнике с углом x, где противоположный катет равен 1 и гипотенуза равна √2 (так как по условию cos(x) = 1/√2), смежный катет будет равен √2 - 1 (используя теорему Пифагора).

Теперь мы можем записать cos(x) = √2/2. Здесь √2 - это длина смежного катета, а 2 - это гипотенуза, поэтому мы имеем отношение √2 к 2, что равно √2/2.

Answer 3

Для решения уравнения √2cos(x) - 1 = 0, давайте начнем с изолирования косинуса x:

√2cos(x) = 1

Теперь давайте избавимся от √2, разделив обе стороны уравнения на √2:

cos(x) = 1 / √2

Теперь мы должны рассмотреть, почему 1 / √2 можно записать как √2/2. Это связано с рационализацией знаменателя.

1 / √2 = (1 / √2) * (√2 / √2) = (√2 / 2)

Таким образом, мы приходим к следующему уравнению:

cos(x) = √2 / 2

Теперь мы можем найти значения угла x, для которых косинус равен √2 / 2. Обычно это связано с углами 45 градусов (π/4 радиан) и 315 градусов (7π/4 радиан) в первом и четвертом квадрантах соответственно, так как косинус положителен в этих квадрантах.

Итак, решение уравнения cos(x) = √2 / 2 состоит из двух частей:

1. x = π/4 + 2πn, где n - целое число.
2. x = 7π/4 + 2πn, где n - целое число.

Это все значения угла x, для которых косинус равен √2 / 2.