Question

Найти решение дифференциального уравнения xdy=(y^2+4y+5)lnxdx

Answer 1

$\frac{dy}{{(y + 2)}^{2} + 1 } = \frac{lnxdx}{x} \\ \int \frac{d(y + 2)}{{(y + 2)}^{2} + 1 } = \int lnxd(lnx) \\ arctg(y + 2) = \frac{ {ln}^{2}x }{2} + c \\ y = \tan(\frac{ {ln}^{2}x }{2} + c) - 2$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение:

xdy = (y^2 + 4y + 5)ln(x)dx

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Сначала давайте разделим переменные y и x на каждой стороне уравнения:

dy/dx = (y^2 + 4y + 5)ln(x)/x

Теперь давайте разделим y-переменные на одной стороне и x-переменные на другой стороне уравнения:

dy / (y^2 + 4y + 5) = ln(x) dx / x

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения:

∫ (1 / (y^2 + 4y + 5)) dy = ∫ (ln(x) / x) dx

Для левой стороны уравнения, мы можем разложить дробь на простые дроби:

∫ (1 / ((y + 2)^2 + 1)) dy = ∫ (ln(x) / x) dx

Теперь давайте сделаем замену переменной для левой стороны. Пусть z = y + 2, тогда dz = dy:

∫ (1 / (z^2 + 1)) dz = ∫ (ln(x) / x) dx

Теперь интегрируем обе стороны:

arctan(z) = ∫ (ln(x) / x) dx + C1

Теперь вернемся к переменной y:

arctan(y + 2) = ∫ (ln(x) / x) dx + C1

Теперь, чтобы найти константу C1, вам нужно использовать начальное условие или дополнительную информацию о задаче. Если у вас есть начальное условие, вы можете использовать его, чтобы определить C1.