Question

Найдите частные решения дифференциального уравнения, удовлетворяющих заданным начальным условиям: y' sin x - y cos x = 1 при x=, y=0

Answer 1

$y' sin x - y cos x = 1\\ y'\cdot \dfrac{1}{sinx}+y\cdot \dfrac{-cosx}{sin^2x}=\dfrac{1}{sin^2x}\\ \\\left[(\dfrac{1}{sinx})'=\dfrac{-cosx}{sin^2x}\right]\\ (y\cdot \dfrac{1}{sinx})'=\dfrac{1}{sin^2x}\\ y\cdot \dfrac{1}{sinx}=- \int -\dfrac{1}{sin^2x}dx=-ctgx+C\\ y=-cosx+Csinx\\ y(\dfrac{\pi}{2})=0=>0=C=>y=-cosx$

Answer 2

Для нахождения частных решений данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид: y' sin(x) - y cos(x) = 1

Давайте разделим обе стороны уравнения на sin(x): (y' - y cot(x)) = 1 / sin(x)

Теперь мы можем решить это уравнение методом разделения переменных. Сначала выразим y' отдельно: y' = 1 / sin(x) + y cot(x)

Теперь мы можем начать процесс интегрирования. Интегрируем обе стороны уравнения: ∫(1 / sin(x) + y cot(x)) dx = ∫1 dx

Интеграл ∫(1 / sin(x) + y cot(x)) dx можно разбить на два интеграла: ∫(1 / sin(x)) dx + ∫(y cot(x)) dx = ∫1 dx

Интеграл первого слагаемого можно легко вычислить: ∫(1 / sin(x)) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C₁, где C₁ - произвольная постоянная.

Теперь рассмотрим интеграл второго слагаемого: ∫(y cot(x)) dx

Чтобы проинтегрировать это уравнение, давайте предположим, что y(y) - функция x и используем метод интегрирования по частям, где u = y и dv = cot(x) dx:

∫(y cot(x)) dx = y ∫cot(x) dx - ∫(y' ∫cot(x) dx) dx

Интеграл ∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C₂, где C₂ - еще одна произвольная постоянная.

Теперь подставим это обратно в интеграл для y cot(x): ∫(y cot(x)) dx = y ln|sin(x)| + ∫(y' ln|sin(x)|) dx

Теперь мы можем объединить все части уравнения и продолжить интегрирование: -ln|csc(x) + cot(x)| + y ln|sin(x)| + ∫(y' ln|sin(x)|) dx = x + C

Теперь мы можем ввести начальное условие x = 0, y = 0: -ln|csc(0) + cot(0)| + 0 ln|sin(0)| + ∫(0 ln|sin(0)|) dx = 0 + C

-ln|∞| + 0 + 0 = C

C = -∞

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям (x = 0, y = 0), имеет вид: -ln|csc(x) + cot(x)| + y ln|sin(x)| = -∞