Question

Найти общее решение уравнения y''+3y'=3xe^-3x

Answer 1

$y''+3y'=3xe^{-3x}\\\\1)\; \; k^2+3k=0\; ,\; \; k\, (k+3)=0\; \; ,\; \; k_1=0\; ,\; \; k_2=-3\\\\y_{obshee\; odnor.}=C_1+C_2e^{-3x}\\\\2)\; \; f(x)=(Ax+B)\cdot e^{\alpha x}=3x\cdot e^{-3x}\; \; \Rightarrow \; \; \; \alpha =-3=k_2\; \; \to \; \; r=1\\\\y_{chastn.neodn.}=(Ax+B)\cdot x^{r}\cdot e^{-3x}=(Ax+B)\cdot x\cdot e^{-3x}=(Ax^2+Bx)\, e^{-3x}\\\\y'_{ch.n.}=(2Ax+B)\, e^{-3x}-3(Ax^2+Bx)\, e^{-3x}\\\\y''_{ch.n.}=2A\, e^{-3x}-3(2Ax+B)\, e^{-3x}-3(2Ax+B)\, e^{-3x}+9(Ax^2+Bx)\, e^{-3x}$

$y''+3y'=2A\, e^{-3x}-3(2Ax+B)\, e^{-3x}-\underline {\underline {3(2Ax+B)\, e^{-3x}}}+\underline {9(Ax^2+Bx)\, e^{-3x}}+\\\\+\underline {\underline {3(2Ax+B)\, e^{-3x}}}-\underline {9(Ax^2+Bx)\, e^{-3x}}=\\\\=2A\, e^{-3x}+(-6Ax-3B)\, e^{-3x}=3x\, e^{-3x}\; |:e^{-3x}\\\\-6Ax-3B+2A=3x\; \; \Longrightarrow \; \; -6A=3\; ;\; \; -3B+2A=0\; ;\\\\A=-\frac{1}{2}\; \; ;\; \; -3B=-2A=1\; \; ,\; \; B=-\frac{1}{3}\\\\3)\; \; y_{ch.n.}=(-\frac{x}{2}-\frac{1}{3})\cdot x\cdot e^{-3x}=(-\frac{x}{2}-\frac{1}{3})\cdot x\cdot e^{-3x}\\\\4)\; \; y_{obsh.neodn.}=C_1+C_2e^{-3x}-(\frac{x}{2}+\frac{1}{3})\cdot x\cdot e^{-3x}$

Answer 2

Для нахождения общего решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, y'' + 3y' = 3xe^(-3x), сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' + 3y' = 0

Для этого уравнения характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 + 3r = 0

Мы можем разложить это уравнение:

r(r + 3) = 0

Отсюда получаем два корня:

1. r = 0
2. r = -3

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = c1 * e^0 + c2 * e^(-3x)

y_h(x) = c1 + c2 * e^(-3x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Мы видим, что правая часть уравнения содержит произведение x и экспоненты e^(-3x), поэтому предположим частное решение в виде:

y_p(x) = (Ax + B) * e^(-3x)

y_p'(x) = (A - 3Ax - 3B) * e^(-3x)

y_p''(x) = (9Ax^2 - 12Ax + 6A - 3B) * e^(-3x)

Подставим y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в исходное уравнение:

(9Ax^2 - 12Ax + 6A - 3B) * e^(-3x) + 3((A - 3Ax - 3B) * e^(-3x)) = 3xe^(-3x)

Теперь уравнение содержит только x и константы, поэтому мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x и решить систему уравнений:

9A = 3 => A = 1/3 -12A + 3B = 0 => -4 + 3B = 0 => 3B = 4 => B = 4/3

Таким образом, частное решение:

y_p(x) = (1/3)x + 4/3

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения, объединив общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = c1 + c2 * e^(-3x) + (1/3)x + 4/3

Это и есть общее решение уравнения y'' + 3y' = 3xe^(-3x).