Question

Решить дифференциальные уравнения dx/x(y-1)=dy/y(x+2) ; y''+36y=sin6x, y(0)=5, y'(0)=0

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение (ответы подчёркнуты цветным); проверка не проводилась.

Answer 2

Давайте решим данные дифференциальные уравнения поочередно:

1. dx/x(y-1) = dy/y(x+2)

Сначала перепишем уравнение в следующем виде:

dy/dx = y(x+2)/(x(y-1))

Теперь разделим переменные и проинтегрируем:

∫(y-1)/y dy = ∫(x+2)/x dx

Интегралы:

∫(y-1)/y dy = ∫(x+2)/x dx ∫(1 - 1/y) dy = ∫(1 + 2/x) dx

Интегрируем левую и правую части:

y - ln|y| = x + 2ln|x| + C

Теперь решим это уравнение относительно y:

y - ln|y| = x + 2ln|x| + C

ln|y| - y = -2ln|x| - x - C

Теперь мы имеем неявное уравнение для y. Его можно решить аналитически только с использованием численных методов. Мы можем также попробовать решить его графически, представив себе форму кривой, которая бы удовлетворяла этому уравнению.

2. y'' + 36y = sin(6x), y(0) = 5, y'(0) = 0

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение такого уравнения можно записать в виде:

y(x) = yh(x) + yp(x)

где yh(x) - это общее решение соответствующего однородного уравнения (y'' + 36y = 0), а yp(x) - частное решение неоднородного уравнения (y'' + 36y = sin(6x)).

Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

y'' + 36y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 + 36 = 0

r^2 = -36

r = ±6i

Общее решение однородного уравнения:

yh(x) = C1cos(6x) + C2sin(6x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Предположим, что yp(x) имеет вид:

yp(x) = Asin(6x) + Bcos(6x)

Дифференцируем yp(x) два раза и подставим в исходное уравнение:

yp''(x) + 36yp(x) = sin(6x)

(-36Asin(6x) - 36Bcos(6x)) + 36(Asin(6x) + Bcos(6x)) = sin(6x)

(-36A + 36A)*sin(6x) + (-36B + 36B)*cos(6x) = sin(6x)

Уравнение для sin(6x) сокращается:

0 = sin(6x)

Это не верно для всех x, кроме случая, когда sin(6x) = 0. Это происходит, когда 6x равно кратным π:

6x = nπ, где n - целое число

x = nπ/6

Таким образом, мы получаем бесконечное множество частных решений при n = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Для каждого значения n найдем соответствующее yp(x):

1. При n = 0:

yp(x) = Asin(0) + Bcos(0) = B

2. При n = ±1, ±2, ±3, ...:

yp(x) = Asin(π/3) + Bcos(π/3) = Asin(π/3) + B(-1/2) = 0

Отсюда получаем:

A = -2B*sin(π/3)

Теперь мы можем записать частное решение в виде:

yp(x) = B*(-2*sin(π/3)*sin(6x) + cos(π/3)*cos(6x))

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет:

y(x) = yh(x) + yp(x)

y(x) = (C1cos(6x) + C2sin(6x)) + B*(-2*sin(π/3)*sin(6x) + cos(π/3)*cos(6x))

Теперь мы имеем общее решение для данного неоднородного уравнения. Для нахождения конкретных значений коэффициентов C1, C2 и B необходимо использовать начальные условия y(0) = 5 и y'(0) = 0.