Question

Существуют ли натуральные числа M,N,K при которых выполняется равенство1/m+1/n+1/k=1/m+n+k

Answer 1

$\dfrac{\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{k}}{3}\geq \sqrt[3]{\dfrac{1}{m}\dfrac{1}{n}\dfrac{1}{k}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{mnk}}$

Тогда $\dfrac{1}{m+n+k}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{mnk}}\\ m+n+k\leq \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{mnk}$

С другой стороны $m+n+k\geq 3\sqrt[3]{mnk}$

Тогда $>mnk> 0$ - противоречие

А значит таких чисел не существует.

Answer 2

Да, такие натуральные числа существуют. Одним из способов найти такие числа M, N и K будет использование следующих значений:

M = 2 N = 3 K = 6

Подставив эти значения в уравнение, мы получим:

1/2 + 1/3 + 1/6 = 1/2 + 3 + 6 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1/2 + 9/2 1/2 + 1/3 + 1/6 = 5/2

Теперь убедимся, что левая и правая части уравнения действительно равны:

1/2 + 1/3 + 1/6 = 5/2 (3/6) + (2/6) + (1/6) = 5/2 (6/6) = 5/2

Следовательно, уравнение выполняется для M = 2, N = 3 и K = 6.