Question

Знайдіть найменше число яке при діленні на 3, 5 та 7 дає остачу 1.

Answer 1

НОК (3, 5 и 7) = 3 · 5 · 7 = 105 - наименьшее общее кратное

105 + 1 = 106 - наименьшее число, при делении которого на 3, 5 и 7 в остатке получается 1.

106 : 3 = 35 (ост. 1)

106 : 5 = 21 (ост. 1)

106 : 7 = 15 (ост. 1)

Вiдповiдь: число 106.

Answer 2

Щоб знайти найменше число, яке при діленні на 3, 5 і 7 дає остачу 1, ми можемо скористатися китайською теоремою про залишки. Ця теорема стверджує, що якщо m, n і p - це натуральні числа, а r1, r2 і r3 - відповідні остачі при діленні деякого числа на m, n і p, то існує таке натуральне число x, яке дає такі остачі при діленні на m, n і p.

У вашому випадку, m = 3, n = 5 і p = 7, і ми шукаємо число, яке дає остачу 1 при діленні на кожне з цих чисел.

Застосуємо китайську теорему залишків:

1. Шукаємо число x, таке, що x ≡ 1 (mod 3).
2. Шукаємо число x, таке, що x ≡ 1 (mod 5).
3. Шукаємо число x, таке, що x ≡ 1 (mod 7).

Почнемо з першого кроку:

1. x ≡ 1 (mod 3) означає, що x має бути одним із чисел вигляду 3k + 1, де k - ціле число. Найменший позитивний спільний кратник (НСК) для числа 3 - це саме число 3. Отже, ми можемо взяти x = 3 * 1 + 1 = 4.

Тепер переходимо до другого кроку:

2. x ≡ 1 (mod 5) означає, що x має бути одним із чисел вигляду 5k + 1. Найменший позитивний спільний кратник для числа 5 - це саме число 5. Отже, ми можемо взяти x = 5 * 1 + 1 = 6.

І наостанок третій крок:

3. x ≡ 1 (mod 7) означає, що x має бути одним із чисел вигляду 7k + 1. Найменший позитивний спільний кратник для числа 7 - це саме число 7. Отже, ми можемо взяти x = 7 * 1 + 1 = 8.

Отже, найменше число, яке при діленні на 3, 5 і 7 дає остачу 1, це число 8.