Question

В треугольной пирамиде SABC все углы при вершине С прямые, SC = 4, AC=BC=3. На ребрах SA и SB взяты точки M и N соответственно, так что SM/MA = BN/NS = 2/3. Найдите косинус угла между прямыми CM и NA По возможности, пожалуйста, решите векторно-координатным методом

Answer 1

Поскольку все углы при вершине С прямые, то поместим именно вершиной С в начало координат.

СА - по оси О, СВ - по оси Оу.

Находим координаты заданных точек. С(0; 0; 0).

х(М) = 3*(2/5) = 6/5 = 1,2.

y(M) = 0.

z(M) = 4*(3/5) = 12/5 = 2,4.   M(1,2; 0; 2,4).

A(3; 0; 0).

x(N) = 0.

y(N) = 3*(3/5) = 9/5 = 1,8.

z(N) = 4*(2/5) = 8/5 = 1,6.     N(0; 1,8; 1,6).

Находим векторы:

СМ (1,2; 0; 2,4),  AN = M(-3; 1,8; 1,6).

Модули этих векторов равны:

|СМ| = √(1,2² + 0² + 2,4²) = √(180/25) = 6√5/5.

|AN| = √((-3)² + 1,8² + 1,6²) = √(370/25) = √74/√5.

Находим косинус угла:

cosφ = |1,2*(-3) + 0*1,8 + 2,4*1,6}/(6√5/5*√74/√5) = √74/370 ≈ 0,02325.

Угол равен 1,547545 радиан или 88,66778 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи векторно-координатным методом, начнем с выбора системы координат. Пусть точка C будет началом координат (0, 0, 0), а вектор CA будет направлен вдоль оси x, вектор CB - вдоль оси y, а вектор SC - вдоль оси z. Теперь определим координаты остальных точек.

Точка A имеет координаты (3, 0, 0), так как AC = 3 и она лежит на оси x.

Точка B имеет координаты (0, 3, 0), так как BC = 3 и она лежит на оси y.

Теперь определим координаты точек M и N. Мы знаем, что SM/MA = 2/3 и BN/NS = 2/3. Это означает, что векторы SM и BN имеют длины, равные 2/3 от длины векторов MA и NS соответственно. Таким образом, координаты точек M и N могут быть найдены следующим образом:

M = (2/3 * 3, 2/3 * 0, 2/3 * 0) = (2, 0, 0)

N = (0, 2/3 * 3, 2/3 * 0) = (0, 2, 0)

Теперь у нас есть координаты всех точек. Следующий шаг - найти векторы CM и NA и затем найти косинус угла между ними. Вектор CM можно найти как разность координат точек C и M, а вектор NA как разность координат точек N и A:

CM = M - C = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0)

NA = A - N = (3, 0, 0) - (0, 2, 0) = (3, -2, 0)

Теперь нам нужно найти косинус угла между векторами CM и NA. Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (CM · NA) / (||CM|| * ||NA||)

где CM · NA - скалярное произведение векторов, ||CM|| и ||NA|| - длины векторов CM и NA.

Сначала найдем скалярное произведение CM и NA:

CM · NA = (2, 0, 0) · (3, -2, 0) = 23 + 0(-2) + 0*0 = 6

Теперь найдем длины векторов CM и NA:

||CM|| = sqrt(2^2 + 0^2 + 0^2) = sqrt(4) = 2

||NA|| = sqrt(3^2 + (-2)^2 + 0^2) = sqrt(13)

Теперь можем найти косинус угла θ:

cos(θ) = (CM · NA) / (||CM|| * ||NA||) = (6) / (2 * sqrt(13)) = 3 / sqrt(13)

Таким образом, косинус угла между прямыми CM и NA равен 3 / sqrt(13).