Question

Вершини трикутника мають координати: A(—1;0;1), B(0;1;-2), C (—1;2;0). 1) Доведіть, що трикутник ABC — прямокутний. 2) Обчисліть площу трикутника ABC.

Answer 1

Відповідь: √30 /2

Пояснення:

$ab = \sqrt{ {(0 + 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} + {( - 2 - 1)}^{2} } = \sqrt{ {1}^{2} + {1}^{2} + {( - 3)}^{2} } = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11} \\ bc = \sqrt{ {( - 1 - 0)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(0 + 2)}^{2} } = \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {1}^{2} + {2}^{2} } = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \\ ac = \sqrt{ {( - 1 + 1)}^{2} + {(2 - 0)}^{2} + {(0 - 1)}^{2} } = \sqrt{ {0}^{2} + {2}^{2} + {( - 1)}^{2} } = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$

За оберненою теоремою Піфагора видно, що AB²=BC²+AC², бо 11=6+5, отже, ∆ABC - прямокутний.

S=0,5BC×AC=0,5√5×√6=√30 /2

Answer 2

Для доведення того, що трикутник ABC є прямокутним, спочатку перевіримо, чи перпендикулярні вектори відповідають сторонам трикутника. Якщо так, то трикутник ABC буде прямокутним.

1. Перевірка перпендикулярності векторів:

a) Вектор AB = B - A = (0 - (-1), 1 - 0, (-2) - 1) = (1, 1, -3) b) Вектор BC = C - B = (-1 - 0, 2 - 1, 0 - (-2)) = (-1, 1, 2) c) Вектор CA = A - C = (-1 - (-1), 0 - 2, 1 - 0) = (0, -2, 1)

Тепер ми перевіряємо скалярний добуток між цими векторами:

AB · BC = (1, 1, -3) · (-1, 1, 2) = 1 * (-1) + 1 * 1 + (-3) * 2 = -1 + 1 - 6 = -6

Якщо скалярний добуток векторів AB і BC дорівнює 0, то вони перпендикулярні одне до одного. Так само ми перевіряємо AB · CA:

AB · CA = (1, 1, -3) · (0, -2, 1) = 1 * 0 + 1 * (-2) + (-3) * 1 = 0 - 2 - 3 = -5

Також, якщо скалярний добуток AB і CA дорівнює 0, то вони перпендикулярні одне до одного.

Отже, ми маємо, що вектори AB і BC, а також AB і CA є перпендикулярними одне до одного. Це означає, що кожна пара сторін трикутника ABC є перпендикулярною. Отже, трикутник ABC є прямокутним.

2. Обчислення площі трикутника ABC. Для обчислення площі прямокутного трикутника можна використовувати наступну формулу:

Площа = (1/2) * AB * BC,

де AB і BC - довжини двох перпендикулярних сторін трикутника.

Довжина вектора AB: |AB| = √(1^2 + 1^2 + (-3)^2) = √(1 + 1 + 9) = √11

Довжина вектора BC: |BC| = √((-1)^2 + 1^2 + 2^2) = √(1 + 1 + 4) = √6

Тепер можемо обчислити площу трикутника:

Площа = (1/2) * |AB| * |BC| = (1/2) * √11 * √6 = (1/2) * √(11 * 6) = (1/2) * √66

Отже, площа трикутника ABC дорівнює (1/2) * √66.