Question

Дифференцированные уравнения. Найти общее решение уравнения. y'+2*y=(x^2)-x Полное решение, чем подробнее тем лучше. За ранее спасибо, если поможете очень выручите.

Answer 1

Умножим обе части уравнения на $e^{2x}$

$e^{2x}y'+2y\cdot e^{2x}=\Big(x^2-x\Big)e^{2x}\\ \\ \Big(y\cdot e^{2x}\Big)'=\Big(x^2-x\Big)e^{2x}\\ \\ y\cdot e^{2x}=\displaystyle \int \Big(x^2-x\Big)e^{2x}dx=\left\{\begin{array}{ccc}u=x^2-x;~~~ du=(2x-1)dx\\ \\ dv=e^{2x}dx;~~~ v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{array}\right\}=\\ \\ \\ =\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}-\int \dfrac{1}{2}e^{2x}(2x-1)dx=\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}+\dfrac{e^{2x}}{4}-\int xe^{2x}dx=$

$=\left\{\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ dv=e^{2x}dx;~~~ v=\dfrac{e^{2x}}{2}\end{array}\right\}=\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}+\dfrac{e^{2x}}{4}+\dfrac{xe^{2x}}{2}-\displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{2}dx=\\ \\ \\ =\dfrac{x^2-x}{2}e^{2x}+\dfrac{e^{2x}}{4}+\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C=\dfrac{e^{2x}}{4}\Big(x-1\Big)^2+C$

$y=\dfrac{\Big(x-1\Big)^2}{4}+Ce^{-2x}$ — общее решение диф. уравнения.

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y' + 2y = x^2 - x. Для этого мы воспользуемся методом интегрирующего множителя.

Уравнение имеет вид:

y' + 2y = x^2 - x.

Сначала преобразуем его к стандартному виду для метода интегрирующего множителя:

y' + 2y - (x^2 - x) = 0.

Теперь умножим обе стороны на интегрирующий множитель, который является экспонентой от интеграла от коэффициента при y:

Множитель: μ(x) = e^(∫2 dx) = e^(2x).

Умножим обе стороны уравнения на μ(x):

e^(2x) * (y' + 2y) - e^(2x) * (x^2 - x) = 0.

Раскроем производные и упростим выражение:

e^(2x) * y' + 2e^(2x) * y - (x^2 - x)e^(2x) = 0.

Теперь это уравнение в полной производной, и мы можем его проинтегрировать:

∫[e^(2x) * y' + 2e^(2x) * y - (x^2 - x)e^(2x)] dx = ∫0 dx.

Интегрируя по частям, получаем:

e^(2x) * y - ∫(2e^(2x) * y) dx - ∫((x^2 - x)e^(2x)) dx = C,

где C — произвольная постоянная интегрирования.

Рассмотрим каждый интеграл по отдельности:

1. ∫(2e^(2x) * y) dx: Используем замену переменной: u = y, du = y' dx. Получаем ∫(2e^(2x) * u) du = 2e^(2x) * u + const = 2e^(2x) * y + C1.

2. ∫((x^2 - x)e^(2x)) dx: Разложим подынтегральное выражение на две части: ∫(x^2 * e^(2x)) dx - ∫(x * e^(2x)) dx. Оба эти интеграла можно решить методом интегрирования по частям.

   a) ∫(x^2 * e^(2x)) dx: Используем замену переменной: u = x^2, du = 2x dx. Получаем (1/2) * ∫(u * e^(u)) du = (1/2) * (u * e^(u) - ∫(e^(u)) du) + const = (1/2) * (x^2 * e^(2x) - ∫(e^(u)) du) + const = (1/2) * (x^2 * e^(2x) - e^(2x)) + const = (1/2) * e^(2x) * (x^2 - 1) + const.

   b) ∫(x * e^(2x)) dx: Используем замену переменной: u = x, du = dx. Получаем ∫(u * e^(2u)) du = ∫(u * e^(2x)) du = e^(2x) * (u - 1) + const = e^(2x) * (x - 1) + const.

Итак, мы имеем следующее:

e^(2x) * y - 2e^(2x) * y - (1/2) * e^(2x) * (x^2 - 1) + e^(2x) * (x - 1) + C = 0.

Упростим выражение:

e^(2x) * y - 2e^(2x) * y - (1/2) * e^(2x) * (x^2 - 1) + e^(2x) * (x - 1) + C = 0,

e^(2x) * y - 2e^(2x) * y - (1/2) * e^(2x) * x^2 + (1/2) * e^(2x) + e^(2x) * x - e^(2x) + C = 0,

e^(2x) * y - 2e^(2x) * y - (1/2) * e^(2x) * x^2 + (1/2) * e^(2x) + e^(2x) * x - e^(2x) + C = 0,

e^(2x) * y - 2e^(2x) * y - (1/2) * e^(2x) * x^2 + (1/2) * e^(2x) + e^(2x) * x - e^(2x) + C = 0,

e^(2x) * y - 2e^(2x) * y - (1/2) * e^(2x) * x^2 + (3/2) * e^(2x) * x - (1/2) * e^(2x) + C = 0,

e^(2x) * y - 2e^(2x) * y - (1/2) * e^(2x) * x^2 + (3/2) * e^(2x) * x - (1/2) * e^(2x) + C = 0.

Теперь выразим y:

y(e^(2x) - 2e^(2x)) = (1/2) * e^(2x) * x^2 - (3/2) * e^(2x) * x + (1/2) * e^(2x) - C,

y = [(1/2) * x^2 - (3/2) * x + (1/2) - C] / e^(2x) + 2.

Итак, это общее решение данного дифференциального уравнения.