Question

Дифференцированные уравнения. Найти общее решение уравнения.4y'' + 3y' - y = ( 5x^2 ) + xПолное решение, чем подробнее тем лучше. За ранее спасибо, если поможете очень выручите.

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

$4y''+3y'-y=0$

Пусть $y=e^{kx}$, мы получим характеристическое уравнение

$4k^2+3k-1=0$

$k_1=-1\\ k_2=\frac{1}{4}$

$y_{o.o.}=C_1e^{-x}+C_2e^{\frac{x}{4}}$ — общее решение однородного диф. ур.

Найдём теперь частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=5x^2+x$

$P_n(x)=5x^2+x$ отсюда $n=2$; $\alpha =0$. Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что $\alpha =0$, частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=Ax^2+Bx+C\\ y'=2Ax+B\\ y''=2A$

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение

$4\cdot 2A+3\cdot (2Ax+B)-(Ax^2+Bx+C)=5x^2+x\\ \\ 8A+6Ax+3B-Ax^2-Bx-C=5x^2+x\\ \\ -Ax^2+(6A-B)x+8A+3B-C=5x^2+x$

Приравниваем коэффициенты при степени x

$-A=5$ откуда $A=-5$

$6A-B=1$ откуда $B=-31$

$8A+3B-C=0$ откуда $C=-133$

Частное решение: $\overline{y}=-5x^2-31x-133$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y_{o.o.}+\overline{y}=C_1e^{-x}+C_2e^{\frac{x}{4}}-5x^2-31x-133$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, сначала найдем общее решение однородной части уравнения (части без правой части), а затем найдем частное решение неоднородной части (правая часть уравнения). Общее решение дифференциального уравнения будет суммой этих двух решений.

Дифференциальное уравнение имеет следующий вид: $4y'' + 3y' - y = 5x^2 + x.$

Шаг 1: Найдем общее решение однородной части уравнения. Для этого решим уравнение без правой части (т.е., установим равенство правой части нулю): $4y'' + 3y' - y = 0.$

Предположим, что решение имеет вид $y = e^{mx}$, где $m$ - некоторая постоянная. Подставим это предположение в уравнение:

$4(e^{mx})'' + 3(e^{mx})' - e^{mx} = 0.$

Теперь найдем производные: $y = e^{mx},$ $y' = me^{mx},$ $y'' = m^2e^{mx}.$

Подставим эти производные обратно в уравнение:

$4(m^2e^{mx}) + 3(me^{mx}) - e^{mx} = 0.$

Теперь факторизуем общий множитель $e^{mx}$:

$e^{mx}(4m^2 + 3m - 1) = 0.$

Для того, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, должно выполняться следующее уравнение:

$4m^2 + 3m - 1 = 0.$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25.$

Таким образом, дискриминант положителен, и у нас есть два различных корня $m_1$ и $m_2$:

$m_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$ $m_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{8} = \frac{-8}{8} = -1.$

Теперь получим два линейно независимых решения для однородного уравнения:

$y_1 = e^{\frac{1}{2}x},$ $y_2 = e^{-x}.$

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородной части уравнения. В данном случае правая часть уравнения представляет собой многочлен $5x^2 + x$, поэтому предположим, что частное решение имеет вид $y_p = Ax^2 + Bx + C$, где $A$, $B$ и $C$ - константы, которые нужно найти.

Теперь подставим частное решение в уравнение и найдем производные:

$y_p = Ax^2 + Bx + C,$ $y_p' = 2Ax + B,$ $y_p'' = 2A.$

Подставим эти производные обратно в исходное уравнение:

$4(2A) + 3(2Ax + B) - (Ax^2 + Bx + C) = 5x^2 + x.$