Question

Помогите, найти предел 1) Xn= n²-n/n²+9 2) Xn=(4n²+3n-5/2n²+2n+4) ²

Answer 1

Ответ:

1) 1

2) 4

Пошаговое объяснение:

1) x(n)= n²-n/n²+9

limx(n)=lim[(n²-n)/(n²+9)]=lim[(n²-n)n²/(n²+9)/n²]=lim[(1-1/n)/(1+9/n²)]=(1-0)/(1+0)=1

n→∞      n→∞                      n→∞                              n→∞

2) x(n)=(4n²+3n-5/2n²+2n+4) ²

limx(n)=lim[[(4n²+3n-5)/(2n²+2n+4)]²]=lim[[(4n²+3n-5)/n²/(2n²+2n+4)/n²]²]=

n→∞      n→∞                                         n→∞                              

=lim[[(4+3/n-5/n²)/(2+2/n+4/n²)]²]=[(4+0-0)/(2+0+0)]²=2²=4

 n→∞

Answer 2

Давайте найдем пределы обоих последовательностей.

1. Последовательность Xn = (n² - n) / (n² + 9).

Для нахождения предела этой последовательности, давайте воспользуемся правилом деления пределов:

lim (n → ∞) [(n² - n) / (n² + 9)] = [lim (n → ∞) (n² - n)] / [lim (n → ∞) (n² + 9)].

Теперь вычислим пределы числителя и знаменателя по отдельности:

lim (n → ∞) (n² - n) = ∞, так как n² доминирует над n при n → ∞.

lim (n → ∞) (n² + 9) = ∞, так как n² доминирует над 9 при n → ∞.

Теперь подставим результаты обратно в исходное выражение:

[lim (n → ∞) (n² - n)] / [lim (n → ∞) (n² + 9)] = (∞) / (∞).

Когда получается неопределенность (∞) / (∞), это означает, что можно использовать правило Лопиталя. Применяя его к данной неопределенности, получим:

lim (n → ∞) [(n² - n) / (n² + 9)] = lim (n → ∞) [(2n - 1) / (2n)].

Теперь предел стал более простым:

lim (n → ∞) [(2n - 1) / (2n)] = lim (n → ∞) [(2 - 1/n) / 2] = (2 - 0) / 2 = 1.

Таким образом, предел последовательности Xn равен 1.

2. Последовательность Xn = [(4n² + 3n - 5) / (2n² + 2n + 4)]².

Для нахождения предела этой последовательности можно применить правило предела для непрерывных функций:

lim (n → ∞) [(4n² + 3n - 5) / (2n² + 2n + 4)]² = [lim (n → ∞) (4n² + 3n - 5) / (2n² + 2n + 4)]².

Далее, давайте рассмотрим предел числителя и знаменателя отдельно:

lim (n → ∞) (4n² + 3n - 5) = ∞, так как наибольший степенной член в числителе - это 4n², который доминирует при n → ∞.

lim (n → ∞) (2n² + 2n + 4) = ∞, так как наибольший степенной член в знаменателе - это 2n², который доминирует при n → ∞.

Теперь подставим результаты обратно в исходное выражение:

[lim (n → ∞) (4n² + 3n - 5) / (2n² + 2n + 4)]² = (∞ / ∞)².

Как и в предыдущем случае, мы можем применить правило Лопиталя:

lim (n → ∞) [(4n² + 3n - 5) / (2n² + 2n + 4)]² = lim (n → ∞) [(8n + 3) / (4n + 2)]².

Теперь предел стал более простым:

lim (n → ∞) [(8n + 3) / (4n + 2)]² = [(8∞ + 3) / (4∞ + 2)]² = (∞ / ∞)².

Снова применяя правило Лопиталя:

lim (n → ∞) [(8∞ + 3) / (4∞ + 2)]² = [(8) / (4)]² = 2² = 4.

Таким образом, предел последовательности Xn равен 4.