Question

Найти определённый интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: 1) предел от 0 до pi, cos(x/2) dx= ? 2) предел от 0 до sqrt 3, 1/(9+x^2) dx = ? 3й нужно найти с помощью замены 3) предел от 0 до pi/2, cosx/(2+cosx) dx = ?

Answer 1

1) cos pi 2 2) sqrt 12x 3) cosx pi 4

Answer 2

1. Чтобы найти интеграл от функции cos(x/2) по интервалу от 0 до pi, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Интеграл от cos(x/2) dx = 2sin(x/2) + C

Вычислим значения функции в пределах от 0 до pi:

2sin(pi/2) - 2sin(0) = 2 - 0 = 2

Таким образом, интеграл от cos(x/2) по интервалу от 0 до pi равен 2.

2. Для нахождения интеграла от 1/(9+x^2) по интервалу от 0 до sqrt(3), также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Интеграл от 1/(9+x^2) dx = arctan(x/3) + C

Вычислим значения функции в пределах от 0 до sqrt(3):

arctan(sqrt(3)/3) - arctan(0/3) = arctan(sqrt(3)/3)

Таким образом, интеграл от 1/(9+x^2) по интервалу от 0 до sqrt(3) равен arctan(sqrt(3)/3).

3. Для нахождения интеграла от cosx/(2+cosx) по интервалу от 0 до pi/2 с помощью замены, выполним следующие шаги:

Пусть u = 2 + cosx, тогда du = -sinx dx.

Когда x = 0, u = 2 + cos(0) = 3. Когда x = pi/2, u = 2 + cos(pi/2) = 2 + 0 = 2.

Интеграл преобразуется следующим образом:

∫(cosx/(2+cosx)) dx = ∫(-du/u) = -ln|u| + C

Вычислим значения функции в пределах от 0 до pi/2:

-ln|2 + cos(pi/2)| + ln|2 + cos(0)| = -ln|2| + ln|3| = ln(3/2)

Таким образом, интеграл от cosx/(2+cosx) по интервалу от 0 до pi/2 равен ln(3/2).