Question

При каком максимальном n сумма первых n членов арифметической прогрессии 7; 11; 15; ... не превосходит 375? не подбором

Answer 1

$7;11;15;...$

$a_1=7$

$a_2=11$

$a_3=15$

$S_n=375$

$n=?$

ОДЗ: $n>0$

Решение

1) $d=a_2-a_1$

  $d=11-7$

  $d=4$

2)  $S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}*n$

    $375=\frac{2*7+(n-1)*4}{2}*n$

  $375*2=(14+(n-1)*4)*n$

  $(14+4n-4)*n =750$

  $4n^2+10n =750$

  $4n^2+10n-750=0$

$D=100-4*4*(-750)=100+12000=12100=110^2$

 $n_1=\frac{-10-110}{8}=\frac{-120}{8}=-15$

$n_2=\frac{-10+110}{8}=\frac{100}{8}=12,5>0$

 $n=12.5$

Максимально целое  n=12

Ответ: 12

Answer 2

Чтобы найти максимальное значение n, при котором сумма первых n членов арифметической прогрессии не превосходит 375, вы можете воспользоваться формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * [2a + (n-1)d],

где:

• S_n - сумма первых n членов,
• a - первый член прогрессии (в данном случае 7),
• d - разность между членами прогрессии (в данном случае 11 - 7 = 4).

Вы хотите найти максимальное n, такое что S_n ≤ 375. Таким образом, у нас есть:

(n/2) * [2*7 + (n-1)*4] ≤ 375.

Раскроем скобки и упростим:

(n/2) * (14 + 4n - 4) ≤ 375, (n/2) * (4n + 10) ≤ 375.

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления на 2:

4n^2 + 10n ≤ 750.

Переносим все члены на одну сторону и получаем квадратное неравенство:

4n^2 + 10n - 750 ≤ 0.

Теперь решим это квадратное неравенство. Мы хотим найти максимальное целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству. Вы можете воспользоваться дискриминантом (D) и формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac,

где a = 4, b = 10 и c = -750.

D = 10^2 - 4 * 4 * (-750) = 100 + 12000 = 12100.

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a), n = (-10 ± √12100) / (2 * 4), n = (-10 ± 110) / 8.

Теперь найдем два значения n:

1. n₁ = (-10 + 110) / 8 = 100 / 8 = 12.5,
2. n₂ = (-10 - 110) / 8 = -120 / 8 = -15.

Так как n должно быть целым числом, максимальное целое значение n равно 12. Таким образом, максимальное значение n, при котором сумма первых n членов арифметической прогрессии не превосходит 375, равно 12.