Question

Помогите вычислить неопределенный интеграл (3+ctg^2(x))/sin^2(x)

Answer 1

$\displaystyle \int \dfrac{3+{\rm ctg}^2x}{\sin^2x}dx=-\int \Big(3+{\rm ctg}^2x\Big)d\big({\rm ctg}\, x\big)=-3{\rm ctg}\, x-\dfrac{{\rm ctg}^3x}{3}+C$

Answer 2

Давайте вычислим данный неопределенный интеграл:

$\int \frac{3 + \cot^2(x)}{\sin^2(x)} \,dx$

Разложим $\cot^2(x)$ в более простые тригонометрические функции:

$\int \frac{3 + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}{\sin^2(x)} \,dx$

Теперь объединим числитель:

$\int \frac{3\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^4(x)} \,dx$

Раскроем квадрат суммы в числителе:

$\int \frac{3\sin^2(x)}{\sin^4(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin^4(x)} \,dx$

Разделим на отдельные интегралы:

$\int \frac{3}{\sin^2(x)} \,dx + \int \frac{1}{\sin^2(x)} \,dx$

Теперь решим каждый из этих интегралов по отдельности:

1. $\int \frac{3}{\sin^2(x)} \,dx$: Раскроем $\csc^2(x)$ (косеканс в квадрате) и возьмем интеграл:

$-3 \cot(x) - \csc(x) + C_1$

2. $\int \frac{1}{\sin^2(x)} \,dx$: Раскроем $\csc^2(x)$ и возьмем интеграл:

$\cot(x) - \csc(x) + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - постоянные интегрирования.

Таким образом, итоговый неопределенный интеграл будет:

$-3 \cot(x) - \csc(x) + C_1 + \cot(x) - \csc(x) + C_2$

Сгруппируем постоянные:

$-2 \cot(x) - 2 \csc(x) + C$

Где $C = C_1 + C_2$ - константа интегрирования.