Question

Найти экстремум функции f(x) = cos2x

Answer 1

Ответ:

Пусть f(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:

f'0(x*) = 0

f''0(x*) > 0

то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x* выполняется условие:

f'0(x*) = 0

f''0(x*) < 0

то точка x* - локальный (глобальный) максимум.

Решение.

Находим первую производную функции:

y' = -2·sin(2·x)

Приравниваем ее к нулю:

-2·sin(2·x) = 0

x1 = 0

Вычисляем значения функции

f(0) = 1

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = -4·cos(2·x)

Вычисляем:

y''(0) = -4<0 - значит точка x = 0 точка максимума функции.

Answer 2

Для нахождения экстремума функции $f(x) = \cos^2(x)$, нам нужно найти ее производную и найти значения $x$, при которых производная равна нулю.

Сначала найдем производную функции $f(x)$ по $x$. Для этого используем формулу для производной квадрата косинуса:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos^2(x))$

Для вычисления производной $\cos^2(x)$ мы можем использовать цепное правило:

$f'(x) = 2\cos(x) \cdot (-\sin(x))$

Теперь найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:

$2\cos(x) \cdot (-\sin(x)) = 0$

Это уравнение будет равно нулю, если $\cos(x) = 0$ или $\sin(x) = 0$.

1. $\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число.
2. $\sin(x) = 0$ при $x = \pi n$, где $n$ - целое число.

Теперь мы знаем, что производная $f(x)$ равна нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = \pi n$. Эти точки могут быть потенциальными экстремумами функции.

Для определения типа экстремума (максимума или минимума) и их значения, мы можем проанализировать знаки производной в окрестности этих точек, используя вторую производную или тест на возрастание/убывание. Однако в данном случае можно заметить, что $f(x) = \cos^2(x)$ всегда положительна или равна нулю, и ее значения ограничены от 0 до 1. Таким образом, функция не имеет ни максимумов, ни минимумов. Она достигает максимального значения 1 при $x = 2\pi n$, и минимального значения 0 при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Таким образом, функция $f(x) = \cos^2(x)$ не имеет экстремумов.