Question

Способ решения интегралОпределите площадь фигуры ограниченной линиями y=4-x^2 и x-y+2=0​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y=4-x^2;x-y+2=0\\y=4-x^2;y=x+2.\\4-x^2=x+2\\x^2+x-2=0\\D=9;\sqrt{D}=3\\ x_1=-2;x_2=1.\\S=\int\limits^1_{-2} {(4-x^2-x-2)} \, dx =\int\limits^1_{-2} {(2-x-x^2)} \, dx =(2x-\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{3})|_{-2}^1=\\ =2*1-\frac{1^1}{2}-\frac{1^3}{3} -(2*(-2)-\frac{(-2)^2}{2}-\frac{(-2)^3}{3})= 2-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} -(-4-\frac{4}{2}-(-\frac{8}{3} )=\\ =2-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +4+2-\frac{8}{3}=8-0.5-\frac{9}{3}=7,5-3=4,5.$

Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Для определения площади фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x^2 и x - y + 2 = 0, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл по этой области.

1. Начнем с нахождения точек пересечения двух кривых. Для этого приравняем уравнения:

   4 - x^2 = x - y + 2

2. Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

   x^2 + x - y + 2 - 4 = 0

3. Упростим уравнение:

   x^2 + x - y - 2 = 0

4. Теперь мы можем выразить y из уравнения x - y + 2 = 0:

   y = x + 2

5. Подставим это значение y в уравнение y = 4 - x^2:

   x + 2 = 4 - x^2

6. Переносим все члены на одну сторону:

   x^2 + x - 2 = 0

7. Решим это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение или метод дискриминанта:

   Дискриминант (D) = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 9

   Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

   x1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 3) / 2 = 1

   x2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 3) / 2 = -2

Теперь у нас есть две точки пересечения: (1, 3) и (-2, 0).

8. Чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, вычислим определенный интеграл. Площадь можно выразить следующим образом:

   S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

   Где f(x) - верхняя кривая (y = 4 - x^2), g(x) - нижняя кривая (y = x + 2), a = -2, b = 1.

   S = ∫[-2, 1] ((4 - x^2) - (x + 2)) dx

Теперь вычислите этот определенный интеграл:

S = ∫[-2, 1] (4 - x^2 - x - 2) dx

S = ∫[-2, 1] (2 - x - x^2) dx

S = [2x - (x^2 / 2) - (x^3 / 3)]|[-2, 1]

S = (2(1) - (1^2 / 2) - (1^3 / 3)) - (2(-2) - ((-2)^2 / 2) - ((-2)^3 / 3))

S = (2 - 0.5 - 0.333) - (-4 - 2 - 2.667)

S = 1.167 - (-8.667)

S = 9.834

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями y = 4 - x^2 и x - y + 2 = 0 равна приблизительно 9.834 квадратным единицам.