Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y =x ^2 + 2, y = 2x + 2

Answer 1

См.график

$\displaystyle\\S=\int\limits^2_0 {2x+2-x^2-2} \, dx =\int\limits^2_0 {2x-x^2} \, dx=(x^2-\frac{x^3}{3})\mid^2_0=\\\\\\=2^2-\frac{2^3}{3}-(0^2-\frac{0^3}{3})=\frac{4}{3}$

Answer 2

Пошаговое объяснение:

$y=x^2+2;y=2x+2;S=?\\x^2+2=2x+2\\x^2-2x=0\\x*(x-2)=0\\x_1=0;x_2=2.\\S=\int\limits^2_0 {(2x+2-x^2-2)} \, dx =\int\limits^2_0 {(2x-x^2)} \, dx =(x^2-\frac{x^3}{3})|_0^2=\\=2^2-\frac{2^3}{3}-(0^2-\frac{0^3}{3} )=4-\frac{8}{3} =4-2\frac{2}{3}=1\frac{1}{3} .$

Ответ: S=1,333 кв. ед.

Answer 3

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными двумя функциями $y = x^2 + 2$ и $y = 2x + 2$, нужно найти точки их пересечения и затем найти площадь между ними.

Сначала найдем точки пересечения, где $y$ значения этих функций равны друг другу:

$x^2 + 2 = 2x + 2.$

Решая это уравнение, получаем:

$x^2 - 2x = 0.$

Факторизуем:

$x(x - 2) = 0.$

Таким образом, $x = 0$ или $x = 2$.

Теперь найдем соответствующие $y$ значения для каждой функции при $x = 0$ и $x = 2$:

1. Для $x = 0$: $y = 0^2 + 2 = 2$ (из $y = x^2 + 2$) $y = 2 \times 0 + 2 = 2$ (из $y = 2x + 2$)

2. Для $x = 2$: $y = 2^2 + 2 = 6$ (из $y = x^2 + 2$) $y = 2 \times 2 + 2 = 6$ (из $y = 2x + 2$)

Таким образом, точки пересечения графиков функций - (0, 2) и (2, 6).

Теперь, чтобы найти площадь между графиками $y = x^2 + 2$ и $y = 2x + 2$ на интервале $[0, 2]$, мы будем находить интеграл от разности этих функций на этом интервале:

$S = \int_{0}^{2} (2x + 2 - (x^2 + 2)) \, dx.$

Вычислим этот интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx.$

$S = \left[\frac{2}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2}.$

$S = \left[(x^2 - \frac{1}{3}x^3)\right]_{0}^{2}.$

$S = (2^2 - \frac{1}{3} \times 2^3) - (0 - \frac{1}{3} \times 0^3).$

$S = (4 - \frac{8}{3}) - 0.$

$S = \frac{4}{3}.$

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками $y = x^2 + 2$ и $y = 2x + 2$ на интервале $[0, 2]$, равна $\frac{4}{3}$ квадратных единиц.