Question

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы с помощью производной y=1/3x³+3/2x²-4x+2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

y'=((1/3)x³+(3/2)x²-4x+2)'=х²+3х-4

х²+3х-4≥0

По Виету корнями уравнения х²+3х-4=0 являются х=1 ; х=-4

Неравенство решим методом интервалов

____-4________1___________

  +                -               +

При х ∈[-4;1] функция убывает, при х∈(-∞;-4 ] и при х∈ [1;+∞) функция возрастает.

Точка х=-4-точка максимума ,максимум равен -64/3+24+16+2=62/3=20 2/3

Точка х=1- точка минимума, при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс. минимум равен 1/3+3/2-4+2=-1/6

Answer 3

Для исследования функции y = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 4x + 2 на монотонность и экстремумы сначала найдем ее производную, а затем проанализируем ее поведение.

1. Найдем производную функции y по x:

y' = d/dx [(1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 4x + 2]

Чтобы найти производную, используем правила дифференцирования:

y' = (1/3) * d/dx(x^3) + (3/2) * d/dx(x^2) - 4 * d/dx(x) + 0 (поскольку производная постоянного члена равна нулю)

y' = (1/3) * 3x^2 + (3/2) * 2x - 4

y' = x^2 + 3x - 4

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы найти потенциальные экстремумы:

x^2 + 3x - 4 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

(x + 4)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x:

x1 = -4 x2 = 1

3. Теперь проверим знак производной в интервалах между и за пределами этих точек:

Выберем три интервала: (-∞, -4), (-4, 1), (1, +∞).

a) Для интервала (-∞, -4):

Подставим x = -5 в производную y':

y'(-5) = (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6

Значение производной положительное (y'(-5) > 0), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

b) Для интервала (-4, 1):

Подставим x = 0 в производную y':

y'(0) = 0^2 + 3(0) - 4 = -4

Значение производной отрицательное (y'(0) < 0), что означает, что функция убывает на этом интервале.

c) Для интервала (1, +∞):

Подставим x = 2 в производную y':

y'(2) = 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6

Значение производной положительное (y'(2) > 0), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Итак, на основе анализа производной можно сделать следующие выводы:

• Функция возрастает на интервалах (-∞, -4) и (1, +∞).
• Функция убывает на интервале (-4, 1).

Теперь найдем значения функции y в точках x1 = -4 и x2 = 1:

y(-4) = (1/3)(-4)^3 + (3/2)(-4)^2 - 4(-4) + 2 = -128/3 + 96/2 + 16 + 2 = -128/3 + 48 + 16 + 2 = -128/3 + 66 = -128/3 + 198/3 = 70/3

y(1) = (1/3)(1)^3 + (3/2)(1)^2 - 4(1) + 2 = 1/3 + 3/2 - 4 + 2 = 1/3 + 3/2 - 10/2 + 4/2 = (1 + 9 - 10 + 4)/6 = 4/6 = 2/3

Таким образом, у нас есть две точки экстремума:

1. Минимум в точке (-4, 70/3).
2. Максимум в точке (1, 2/3).

Исследование функции на монотонность и экстремумы завершено.