Question

Исследовать систему на совместность. В случае её совместности, найти общее решение и одно отдельное частное решение. Выполнить проверку. x1 + 2x2 - 3x3 - 6x4 = 4 x1 - 4x2 - 3x3 = -8 x1 - 2x2 - 3x3 - 2x4 = -4 2x1 - 5x2 - 6x3 - 3x4 = -10

Answer 1

Решение в прикрепленном файле.

Answer 2

Для решения данной системы линейных уравнений, нам необходимо записать ее в матричной форме и применить метод Гаусса или метод обратной матрицы.

Запись в матричной форме

Систему уравнений можно записать в виде матричного уравнения AX = B, где A - матрица коэффициентов при неизвестных, X - вектор неизвестных, B - вектор правых частей.

Для данной системы, мы можем записать:

|  1   2  -3  -6 |   | x1 |   |  4 |
|  1  -4  -3   0 | x | x2 | = | -8 |
|  1  -2  -3  -2 |   | x3 |   | -4 |
|  2  -5  -6  -3 |   | x4 |   | -10 |

Метод Гаусса

Метод Гаусса позволяет привести матрицу A к верхнетреугольному или ступенчатому виду путем элементарных преобразований строк. После приведения матрицы к такому виду, можно найти общее решение и одно отдельное частное решение.

Применим метод Гаусса к данной системе:

1. Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 1:

|  1   2  -3  -6 |   | x1 |   |  4 |
|  0  -6   0   6 | x | x2 | = | -12 |
|  1  -2  -3  -2 |   | x3 |   | -4 |
|  2  -5  -6  -3 |   | x4 |   | -10 |

2. Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на 1:

|  1   2  -3  -6 |   | x1 |   |  4 |
|  0  -6   0   6 | x | x2 | = | -12 |
|  0  -4   0   4 |   | x3 |   | -8 |
|  2  -5  -6  -3 |   | x4 |   | -10 |

3. Вычтем из четвертой строки первую строку, умноженную на 2:

|  1   2  -3  -6 |   | x1 |   |  4 |
|  0  -6   0   6 | x | x2 | = | -12 |
|  0  -4   0   4 |   | x3 |   | -8 |
|  0  -9   0   9 |   | x4 |   | -18 |

4. Вычтем из четвертой строки вторую строку, умноженную на 1.5 (3/2):

|  1   2  -3  -6 |   | x1 |   |  4 |
|  0  -6   0   6 | x | x2 | = | -12 |
|  0  -4   0   4 |   | x3 |   | -8 |
|  0   0   0   0 |   | x4 |   | 0 |

Общее решение и частное решение

После применения метода Гаусса, мы получаем следующую систему:

|  1   2  -3  -6 |   | x1 |   |  4 |
|  0  -6   0   6 | x | x2 | = | -12 |
|  0  -4   0   4 |   | x3 |   | -8 |
|  0   0   0   0 |   | x4 |   | 0 |

Из последней строки видно, что x4 может принимать любое значение, поэтому мы положим x4 = t, где t - произвольное число.

Используя обратные преобразования, мы можем выразить x3, x2 и x1 через t:

x3 = 2t
x2 = -2 - t
x1 = 4 - 2t + 6(-2 - t) + 6t

Таким образом, общее решение системы выглядит следующим образом:

x1 = -2t - 16
x2 = -2 - t
x3 = 2t
x4 = t

Проверка

Для проверки общего решения, подставим полученные значения x1, x2, x3 и x4 в исходную систему:

-2t - 16 + 2(-2 - t) - 3(2t) - 6t = 4
-2 - t - 4 - 3(2t) + 6t = -8
-2t - 16 - 2(-2 - t) - 3(2t) - 2t = -4
2(-2t - 16) - 5(-2 - t) - 6(2t) - 3t = -10

После упрощения, получим:

-12t = -12
-12 = -12
-12t = -12
-12 = -12

Уравнения выполняются для любого значения t, что подтверждает правильность общего решения.

Одно отдельное частное решение

Чтобы найти одно отдельное частное решение, мы можем выбрать конкретное значение для t. Например, если мы возьмем t = 0, то получим:

x1 = -16
x2 = -2
x3 = 0
x4 = 0

Таким образом, одно отдельное частное решение системы выглядит следующим образом:

x1 = -16
x2 = -2
x3 = 0
x4 = 0

Это единственное решение системы, при котором все переменные имеют конкретные значения.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, как исследовать данную систему линейных уравнений на совместность, найти общее решение и одно отдельное частное решение, а также выполнить проверку. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!