Question

Помогите, пожалуйста, решить уравнение 2sin^2(2x)=(cosx+sinx)^2

Answer 1

$2\sin^{2}2x = (\cos x + \sin x)^{2}$

$2\sin^{2}2x = \cos^{2}x + 2\sin x \cos x + \sin^{2}x$

$2\sin^{2}2x = 1 + \sin 2x$

$2\sin^{2}2x - \sin 2x - 1 = 0$

Замена: $\sin 2x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$2t^{2} - t - 1 = 0$

$D = (-1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_{1} = \dfrac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 + 3}{4} = 1$

$t_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}$

$1) \ \sin 2x = 1$

$2x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in Z$

$2) \ \sin 2x = -\dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \left [ {{2x =\arcsin \left(-\dfrac{1}{2} \right) + 2\pi n, \ \ \ \ \ } \atop {2x =\pi - \arcsin \left(-\dfrac{1}{2} \right) + 2\pi n, }} \right. \ n \in Z$

$\displaystyle \left [ {{2x =-\arcsin \dfrac{1}{2} + 2\pi n, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {2x =\pi - \left(-\arcsin \dfrac{1}{2}\right) + 2\pi n,}} \right. \ n \in Z$

$\displaystyle \left [ {{2x =-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \ \ \ } \atop {2x =\pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, }} \right. \ n \in Z$

$\displaystyle \left [ {{2x =-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,} \atop {2x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n, }} \right. \ n\in Z$

$\displaystyle \left [ {{x =-\dfrac{\pi}{12} + \pi n,} \atop {x = \dfrac{7\pi}{12} + \pi n, \ \ }} \right. \ n\in Z$

Получили три ответа с наименьшим положительным периодом $T = \pi.$

На единичной окружности найдем объединение всех ответов. Заметим, что все три ответа повторяются через треть окружности (см. рисунок), поэтому: $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{3}, \ n \in Z$

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{3}, \ n \in Z$

Answer 2

Давайте решим это уравнение шаг за шагом.

Уравнение: 2sin^2(2x) = (cosx + sinx)^2

Сначала преобразуем sin^2(2x) в более простую форму, используя тригонометрическую идентичность: sin^2(2x) = (1 - cos^2(2x))/2

Теперь подставим это в уравнение: 2(1 - cos^2(2x))/2 = (cosx + sinx)^2

Упростим уравнение: 1 - cos^2(2x) = (cosx + sinx)^2

Раскроем скобки: 1 - cos^2(2x) = cos^2x + 2cosxsinx + sin^2x

Теперь мы можем объединить тригонометрические термины: 1 - cos^2(2x) = 1 - sin^2(2x) = cos^2x + 2sinxcosx

Теперь у нас есть уравнение, которое содержит только косинусы и синусы: 1 - sin^2(2x) = cos^2x + 2sinxcosx

Прибавим sin^2(2x) к обеим сторонам уравнения: 1 = cos^2x + 2sinxcosx + sin^2(2x)

Теперь мы видим, что sin^2(2x) + cos^2x = 1 (это тригонометрическая идентичность), поэтому мы можем заменить sin^2(2x) + cos^2x на 1: 1 = 1 + 2sinxcosx

Теперь выразим sinxcosx: 2sinxcosx = 0

Теперь у нас есть уравнение, в котором sinxcosx равно нулю: sinxcosx = 0

Это уравнение имеет два возможных решения:

1. sinx = 0
2. cosx = 0

Давайте рассмотрим каждый случай:

1. Если sinx = 0, то x может быть равен 0 или кратным π, так как sin(πn) = 0, где n - целое число.

2. Если cosx = 0, то x может быть равен π/2 или кратным π/2, так как cos(π/2 + πn) = 0, где n - целое число.

Итак, у нас есть четыре возможных решения для уравнения:

1. x = 0
2. x = π
3. x = π/2
4. x = 3π/2

Пожалуйста, проверьте эти значения, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться в их корректности.