Question

1) Докажите, что равенство не выполнено ни для каких целых m, n, и p, не равных одновременно нулю. 2) Найдите какие-нибудь такие целые m, n, и p, не равные одновременно нулю, что отличается от не более, чем на 0,01. Если таких m, n и p не существует, объясните, почему.

Answer 1

1) Пусть равенство $m+n\sqrt{7}=p\sqrt{2}$ выполнено. Тогда выполнено и равенство $m^2+7n^2+2mn\sqrt{7}=2p^2$, но слева иррациональное число, а справа целое, противоречие.

2) Пусть сразу $m=0$, $p,n>0$. Тогда нам нужно найти как можно меньшее значение $\sqrt{7n^2}-\sqrt{2p^2}$. Мы сможем этого достичь, если числа $p,n$ будут достаточно большими, а величина $7n^2-2p^2$ достаточно маленькой.

Найдем такие числа. Пусть $7n^2-2p^2=7 \Leftrightarrow 7(n^2-1)=2p^2$, возьмем $n=2k+1$. Получим $p^2=14k(k+1)$, пусть $k=14m^2$, тогда требуется найти такое $k$, чтобы $14m^2+1=z^2 \Leftrightarrow 14m^2=(z-1)(z+1)$, сделаем последнюю замену: $z=14l+1$, имеем: $m^2=l(14l+2)$, откуда сразу угадывается решение $m=4,\;l=1$. Возвращаясь к заменам, получим $k=14\times16=224$, Значит, $p^2=14\times224\times 225\Rightarrow p=840$, $n=2k+1=449$.

Теперь осталось проверить: $\sqrt{1411207}-\sqrt{1411200}\approx 0,003$. Итак, решением будет тройка $(m,n,p)=(0,449,840)$

Answer 2

1. Давайте докажем, что равенство $m^3 + n^3 = p^3$ не имеет целочисленных решений, где $m$, $n$, и $p$ не равны одновременно нулю.

Предположим, что такие целые $m$, $n$, и $p$ существуют и удовлетворяют уравнению $m^3 + n^3 = p^3$. Мы знаем, что кубы всех целых чисел могут быть только 0, 1, или -1 по модулю 9. Это означает, что $m^3$ и $n^3$ могут быть только 0, 1, или -1 по модулю 9. Таким образом, сумма $m^3 + n^3$ также может быть только 0, 1, или -1 по модулю 9.

Однако кубы целых чисел по модулю 9 могут быть только 0, 1, или -1. Следовательно, сумма $m^3 + n^3$ также может быть только 0, 1, или -1 по модулю 9. Но $p^3$ может быть только 0, 1, или -1 по модулю 9.

Теперь у нас есть два целых числа, $m^3 + n^3$ и $p^3$, которые могут быть только 0, 1, или -1 по модулю 9, и они равны между собой. Это означает, что либо $m^3 + n^3 = p^3 = 0$, либо $m^3 + n^3 = p^3 = 1$, либо $m^3 + n^3 = p^3 = -1$.

В случае $m^3 + n^3 = p^3 = 0$ все три числа $m$, $n$, и $p$ должны быть равны нулю, что не соответствует условию задачи.

В случае $m^3 + n^3 = p^3 = 1$ или $m^3 + n^3 = p^3 = -1$ рассмотрим, например, случай $m^3 + n^3 = p^3 = 1$. Это означает, что $m^3$ и $n^3$ должны быть как 1, так и -1 (по модулю 9) одновременно. Однако это невозможно, так как сумма кубов двух чисел не может быть одновременно 1 и -1 (по модулю 9).

Таким образом, равенство $m^3 + n^3 = p^3$ не имеет решений для целых чисел $m$, $n$, и $p$, не равных одновременно нулю.

2. Чтобы найти целые числа $m$, $n$, и $p$, отличающиеся от 0 и удовлетворяющие уравнению $m^3 + n^3 = p^3$ с точностью не более чем на 0.01, давайте рассмотрим следующее рассуждение.

Мы знаем, что равенство $m^3 + n^3 = p^3$ не имеет целочисленных решений, как было доказано в первой части ответа. Таким образом, для нашей задачи невозможно найти такие целые $m$, $n$, и $p$, которые отличались бы друг от друга на 0.01. Это объясняется тем, что разность между кубами целых чисел с большой вероятностью будет значительно больше 0.01, и нет способа приблизиться к желаемой разности 0.01, не нарушая условие целочисленности.