Question

Срочно! Дам 30 баллов Одна из диагоналей четырёхугольной призмы пересекает три других диагонали этой призмы. Докажите, что призма – параллелепипед.

Answer 1

Ответ:

Доказательство в приложении.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что призма является параллелепипедом, мы можем воспользоваться свойствами диагоналей четырёхугольной призмы.

Рассмотрим четырёхугольную призму с вершинами $ABCDA'B'C'D'$, где $AA', BB', CC', DD'$ — вершины основания, а $O$ — точка пересечения диагоналей.

Так как диагонали пересекаются в точке $O$, мы можем рассмотреть три треугольника: $\triangle ABC$, $\triangle ADD'$, и $\triangle AA'D$, образованных этими диагоналями.

1. Треугольник $\triangle ABC$: Так как $\overline{BD'}$ — диагональ призмы, то $\overline{BD'} \parallel \overline{AC}$ (по свойству диагоналей в призме).

2. Треугольник $\triangle ADD'$: Аналогично, так как $\overline{BC'}$ — диагональ призмы, то $\overline{BC'} \parallel \overline{AD}$.

3. Треугольник $\triangle AA'D$: Поскольку $\overline{BB'}$ — диагональ призмы, то $\overline{BB'} \parallel \overline{AD}$.

Теперь у нас есть три пары параллельных линий: $\overline{BD'} \parallel \overline{AC}$, $\overline{BC'} \parallel \overline{AD}$, и $\overline{BB'} \parallel \overline{AD}$.

Так как углы $\angle B$ и $\angle D$ лежат на одной и той же прямой $\overline{BD'}$, а также $\angle A = \angle A'$, то у нас есть две пары углов, одна из которых соответствует вертикальным углам, а другая — соответствует соответственным углам.

Следовательно, по теореме о трёх параллельных прямых у нас есть три пары параллельных сторон, и призма является параллелепипедом.