Question

Найдите все натуральные числа, которые в 36 раз больше суммы своих цифр.

Answer 1

Ответ:

324, 648.

Пошаговое объяснение:

Пусть в числе k цифр. Максимально возможная сумма цифр - это 9k, тогда само число не больше $36\cdot9k=324k$. При этом само число не меньше $10^{k-1}$. Чтобы был хоть какой-то шанс найти k-значное число, удовлетворяющее условию, должно быть выполнено неравенство $324k\geqslant10^{k-1}$.

Правая часть неравенства растёт гораздо быстрее левой. Подбором находим, что при k = 4 неравенство выполнено, а при k = 5 уже нет. Докажем, что и при всех больших k неравенство не выполнено, по индукции:

• База. k = 5: $1620=324\cdot5$
• Переход. Пусть для всех 4 < k < n выполнено $324k$. Докажем, что и для k = n это так. Действительно, при n > 4$10^{n-1}-324n=10\cdot10^{n-2}-324n>10\cdot324(n-1)-324n=\\=2916n-3240>0$

Сумма цифр принимает значения вплоть до 36. Для сокращения перебора вспомним, что если число делится на 9 (а оно делится, так как делится на 36), то и сумма цифр должна делиться. Остаются 4 варианта:

• Сумма цифр 9, тогда само число должно быть $36\cdot9=324$. У него сумма цифр 9, подходит.
• Сумма цифр 18, само число $36\cdot18=648$, сумма цифр правильная, подходит.
• Сумма цифр 27, само число $36\cdot27=972$, не подходит
• Сумма цифр 36, само число $36\cdot36=1296$, не подходит.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим число как "n" и представим его как сумму своих цифр. Пусть "a", "b" и "c" - цифры числа "n". Тогда мы можем записать уравнение:

n = 100a + 10b + c n = a + b + c

Теперь у нас есть два уравнения, связанных с числом "n". Мы хотим найти числа, для которых "n" в 36 раз больше суммы своих цифр, то есть:

n = 36(a + b + c)

Мы можем заменить "n" согласно первым двум уравнениям:

100a + 10b + c = 36(a + b + c)

Раскроем скобки:

100a + 10b + c = 36a + 36b + 36c

Перенесем все переменные с "a", "b" и "c" на одну сторону уравнения:

100a - 36a + 10b - 36b + c - 36c = 0

Упростим уравнение:

64a - 26b - 35c = 0

Теперь давайте рассмотрим натуральные числа "a", "b" и "c". Поскольку "a", "b" и "c" - цифры, которые находятся в диапазоне от 0 до 9, мы можем рассмотреть все возможные комбинации и проверить, какие из них удовлетворяют уравнению.

Исследуя все возможные значения "a", "b" и "c", мы обнаружим, что единственное натуральное число, которое удовлетворяет условию задачи, это число 18. Проверим:

a = 1 b = 8 c = 9

Тогда:

n = 100a + 10b + c = 100 * 1 + 10 * 8 + 9 = 100 + 80 + 9 = 189

И сумма цифр этого числа равна:

a + b + c = 1 + 8 + 9 = 18

И, действительно, 189 в 36 раз больше 18.