Question

Найти Интервальные оценки математического ожидания и депрессии с надёжностью 0.95 - (2, 4, 8, 13, 9, 6, 3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Представим ряд в порядке возрастания случайной величины:

2; 3; 4; 6; 8; 9; 13

Находим выборочную среднюю:

Xcp = 2 + (0+1+2+4+6+7+11)/7 ≈  6,4

Находим выборочную дисперсию:

Dв=[(2-6,4)²+(3-6,4)²+(4-6,4)²+(6-6,4)²+(8-6,4)²+(9-6,4)²+(13-6,4)²]/7 ≈12,8

γ = 0,95

n = 7

σ = √ Dв = √12,8 ≈ 3,58

Для γ = 0,95  

t = 1,96

Находим:

Δ = t·σ / √n = 1,96·3,58/√7 ≈ 2,7

Интервал:

Xcp ±Δ = 6,4 ± 2,7  

Answer 2

Для нахождения интервальных оценок математического ожидания и дисперсии с надежностью 0.95 для данной выборки (2, 4, 8, 13, 9, 6, 3), вам понадобятся статистические формулы и таблицы распределения Стьюдента.

1. Интервальная оценка математического ожидания (среднего): Формула для интервальной оценки математического ожидания с надежностью 0.95 выглядит следующим образом:

   $\bar{x} \pm \frac{t_{\alpha/2} \cdot s}{\sqrt{n}}$

   Где:

   • $\bar{x}$ - выборочное среднее,
   • $t_{\alpha/2}$ - значение t-статистики для заданного уровня доверия (0.95/2 = 0.475) и степеней свободы (n-1),
   • $s$ - выборочное стандартное отклонение,
   • $n$ - размер выборки.

   Сначала найдем необходимые значения.

   Выборочное среднее $\bar{x}$: $\bar{x} = \frac{2 + 4 + 8 + 13 + 9 + 6 + 3}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43$

   Выборочное стандартное отклонение $s$: $s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$ $s = \sqrt{\frac{1}{6}[(2-6.43)^2 + (4-6.43)^2 + (8-6.43)^2 + (13-6.43)^2 + (9-6.43)^2 + (6-6.43)^2 + (3-6.43)^2]} \approx 3.55$

   Значение t-статистики $t_{\alpha/2}$ для $\alpha/2 = 0.475$ и степеней свободы $n-1 = 7-1 = 6$ можно найти в таблице распределения Стьюдента. По таблице, $t_{0.475}$ приблизительно равно 2.447.

   Теперь мы можем найти интервальную оценку математического ожидания: $6.43 \pm \frac{2.447 \cdot 3.55}{\sqrt{7}}$

   Вычисляем: $6.43 \pm \frac{2.447 \cdot 3.55}{\sqrt{7}} \approx 6.43 \pm 3.56$

   Интервальная оценка математического ожидания с надежностью 0.95 составляет примерно от 2.87 до 9.99.

2. Интервальная оценка дисперсии: Формула для интервальной оценки дисперсии с надежностью 0.95 выглядит следующим образом:

   $\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}$

   Где:

   • $s$ - выборочное стандартное отклонение,
   • $\chi^2_{\alpha/2}$ - критическое значение хи-квадрат распределения для уровня доверия $\alpha/2$ и степеней свободы $n-1$.

   Значение $\chi^2_{\alpha/2}$ для $\alpha/2 = 0.475$ и $n-1 = 6$ можно найти в таблице хи-квадрат распределения. По таблице, $\chi^2_{0.475}$ приблизительно равно 12.591, а $\chi^2_{1-0.475}$ равно 2.204.

   Теперь мы можем найти интервальную оценку дисперсии: $\frac{6 \cdot 3.55^2}{12.591} \leq \sigma^2 \leq \frac{6 \cdot 3.55^2}{2.204}$

   Вычисляем: $\frac{6 \cdot 3.55^2}{12.591} \leq \sigma^2 \leq \frac{6 \cdot 3.55^2}{2.204}$