Question

1) В 13-томном справочнике общая (сплошная) нумерация страниц. Сколько страниц в одном томе, если в каждом томе их поровну, а сумма номеров всех первых и последних страниц всех томов равна 39390? 2) Доказать, что если в треугольнике величина каждого из углов больше 59 градусов , то она меньше 62 градусов 3) Выпускники школы, поступившие на мехмат МГУ, рассказали учителю про свои экзамены по математике ( письменно и устно) следующее. Андреев: Мои оценки- две четверки. Васильев: Я получил тройку и пятёрку. Семёнов: А я – тройку и четвёрку. Потом они сознались, что каждый сообщил не свои оценки, а оценки одного из двух других. Учитель сказал, что определит оценки каждого, попросив лишь одного из них правильно назвать любую из своих оценок. Кому он задал вопрос и как после этого определил оценки каждого?

Answer 1

решение на фото внизу

Answer 2

1. Пусть в каждом томе страниц одинаково и их количество равно x. Тогда в каждом томе есть две страницы с одинаковым номером, одна в начале и одна в конце тома. Таким образом, каждый том содержит x страниц и x/2 пар страниц с одинаковыми номерами.

У нас 13 томов, поэтому всего страниц во всех томах: 13 * x = 13x.

Сумма номеров всех первых страниц: 1 + 1 + 1 + ... + 1 (13 раз) = 13. Сумма номеров всех последних страниц: x + x + x + ... + x (13 раз) = 13x.

Из условия задачи: сумма номеров всех первых и последних страниц всех томов равна 39390.

Таким образом, у нас есть уравнение: 13 + 13x = 39390.

Переносим 13 вправо: 13x = 39390 - 13.

Вычисляем правую часть: 13x = 39377.

Делим обе части на 13: x = 39377 / 13.

Вычисляем значение: x = 3032.

Таким образом, в каждом томе 3032 страницы.

2. Для доказательства утверждения, что в треугольнике, в котором каждый угол больше 59 градусов, все углы меньше 62 градусов, рассмотрим противоположное утверждение: предположим, что есть треугольник, в котором хотя бы один угол больше или равен 62 градусам.

Пусть угол A >= 62 градуса. Тогда углы B и C (остальные два угла треугольника) образуют сумму меньше 180 - 62 = 118 градусов.

Теперь рассмотрим другой случай, когда угол A < 62 градусов, но угол B >= 62 градусов. Тогда углы A и C образуют сумму меньше 180 - 62 = 118 градусов.

Наконец, если угол C >= 62 градусам, то углы A и B образуют сумму меньше 118 градусов.

Во всех трех случаях получается, что сумма двух других углов меньше 118 градусов. Но это противоречит свойству треугольника, согласно которому сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.

Таким образом, предположение о существовании угла >= 62 градусам невозможно, и в треугольнике, в котором каждый угол больше 59 градусов, все углы меньше 62 градусов.

3. Рассмотрим, что каждый из трех учеников сказал:

• Андреев: Мои оценки - две четверки.
• Васильев: Я получил тройку и пятёрку.
• Семёнов: А я – тройку и четвёрку.

Посмотрим на возможные варианты того, что сказал каждый ученик и что он получил на самом деле:

1. Андреев сказал правду (две четверки):

   • Значит, Васильев получил тройку и пятёрку.
   • Семёнов получил тройку и четвёрку.

2. Васильев сказал правду (тройка и пятёрка):

   • Значит, Андреев получил две четверки.
   • Семёнов не мог получить две оценки, которые уже назвали, так что он получил две оставшиеся оценки: двойку и пятёрку.

3. Семёнов сказал правду (тройка и четвёрка):

   • Значит, Андреев получил две четверки.
   • Васильев не мог получить две оценки, которые уже назвали, так что он получил две оставшиеся оценки: двойку и пятёрку.

Теперь учитель понял, какие оценки получили Андреев и Васильев. Посмотрим, что сказал каждый ученик на самом деле:

• Андреев получил две четверки.
• Васильев получил двойку и пятёрку.
• Семёнов получил тройку и четвёрку.

Таким образом, учитель задал вопрос Васильеву, и после этого определил оценки каждого ученика.