Question

По данным групповой выборки случайной величины Х, найти интервальные оценки математического ожидания и Диспрессии с надёжностью 0.95. n1 = 2; n2 = 4; n3 = 8; n4 = 13; n5 = 9; n6 = 6; n7 = 3;

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Представим ряд в порядке возрастания случайной величины:

2; 3; 4; 6; 8; 9; 13

Находим выборочную среднюю:

Xcp = 2 + (0+1+2+4+6+7+11)/7 ≈  6,4

Находим выборочную дисперсию:

Dв=[(2-6,4)²+(3-6,4)²+(4-6,4)²+(6-6,4)²+(8-6,4)²+(9-6,4)²+(13-6,4)²]/7 ≈12,8

γ = 0,95

n = 7

σ = √ Dв = √12,8 ≈ 3,58

Для γ = 0,95  

t = 1,96

Находим:

Δ = t·σ / √n = 1,96·3,58/√7 ≈ 2,7

Интервал:

Xcp ±Δ = 6,4 ± 2,7

Answer 2

Для нахождения интервальных оценок математического ожидания и дисперсии с заданной надежностью (доверительным уровнем) 0.95, мы будем использовать соответствующие статистические методы.

Интервальная оценка математического ожидания: Для оценки математического ожидания используется t-распределение, так как объемы выборок небольшие. Формула для интервальной оценки математического ожидания:

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, \, \nu} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}},$

где:

• $\bar{x}$ - выборочное среднее,
• $t_{\alpha/2, \, \nu}$ - критическое значение t-распределения с (n - 1) степенями свободы и $\alpha/2$ уровнем значимости (для надежности 0.95 и 7 степенями свободы, например),
• $s$ - выборочное стандартное отклонение,
• $n$ - объем выборки.

По данной информации, для каждой выборки ($n1, n2, \ldots, n7$) вычисляем выборочное среднее ($\bar{x}$) и выборочное стандартное отклонение ($s$). Затем находим соответствующие критические значения $t_{\alpha/2, \, \nu}$ из таблицы t-распределения. Подставляя все значения в формулу, получим интервальные оценки для каждой выборки.

Интервальная оценка дисперсии: Для интервальной оценки дисперсии используется распределение хи-квадрат ($\chi^2$). Формула для интервальной оценки дисперсии:

$\left( \frac{(n-1) s^2}{\chi^2_{\alpha/2, \, n-1}}, \, \frac{(n-1) s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, \, n-1}} \right),$

где:

• $n$ - объем выборки,
• $s^2$ - выборочная дисперсия,
• $\chi^2_{\alpha/2, \, n-1}$ - критическое значение хи-квадрат распределения с $n-1$ степенями свободы и $\alpha/2$ уровнем значимости,
• $\chi^2_{1-\alpha/2, \, n-1}$ - критическое значение хи-квадрат распределения с $n-1$ степенями свободы и $1-\alpha/2$ уровнем значимости.

Аналогично, для каждой выборки вычисляем выборочную дисперсию ($s^2$), затем находим соответствующие критические значения $\chi^2_{\alpha/2, \, n-1}$ и $\chi^2_{1-\alpha/2, \, n-1}$ из таблицы хи-квадрат распределения. Подставляя значения в формулу, получим интервальные оценки для каждой выборки.