Question

Найти Интервальные оценки математического ожидания и депрессии с надёжностью 0.95 ряда - (2, 4, 8, 13, 9, 6, 3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Представим ряд в порядке возрастания случайной величины:

2; 3; 4; 6; 8; 9; 13

Находим выборочную среднюю:

Xcp = 2 + (0+1+2+4+6+7+11)/7 ≈  6,4

Находим выборочную дисперсию:

Dв=[(2-6,4)²+(3-6,4)²+(4-6,4)²+(6-6,4)²+(8-6,4)²+(9-6,4)²+(13-6,4)²]/7 ≈12,8

γ = 0,95

n = 7

σ = √ Dв = √12,8 ≈ 3,58

Для γ = 0,95  

t = 1,96

Находим:

Δ = t·σ / √n = 1,96·3,58/√7 ≈ 2,7

Интервал:

Xcp ±Δ = 6,4 ± 2,7

Answer 2

Для нахождения интервальных оценок математического ожидания и дисперсии с заданной надёжностью, мы можем использовать стандартное нормальное распределение или распределение Стьюдента, в зависимости от того, известна ли нам генеральная дисперсия.

Поскольку генеральная дисперсия нам не известна, воспользуемся распределением Стьюдента. Формула для интервальной оценки математического ожидания при использовании распределения Стьюдента выглядит следующим образом:

$\text{Интервал} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Где:

• $\bar{x}$ - выборочное среднее,
• $t_{\alpha/2, n-1}$ - критическое значение распределения Стьюдента с $(n-1)$ степенями свободы и уровнем значимости $\alpha/2$,
• $s$ - выборочное стандартное отклонение,
• $n$ - размер выборки.

Для данной задачи, уровень доверия (надёжности) составляет 0.95, следовательно, $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$. Размер выборки $n = 7$, выборочное среднее $\bar{x} = \frac{2 + 4 + 8 + 13 + 9 + 6 + 3}{7} = \frac{45}{7}$. Выборочное стандартное отклонение $s$ может быть вычислено по формуле для выборочной дисперсии.

Для нахождения $t_{\alpha/2, n-1}$ нам понадобятся таблицы значений распределения Стьюдента или статистические программы. Для $n-1 = 6$ степеней свободы и $\alpha/2 = 0.025$ критическое значение равно приблизительно $2.447$.

Подставив все значения в формулу, получим интервальную оценку для математического ожидания:

$\text{Интервал} = \frac{45}{7} \pm 2.447 \cdot \frac{s}{\sqrt{7}}$

Осталось только вычислить $s$ и подставить его в формулу.