Question

Даны координаты вершин треугольника АВС, найти :1) уравнение стороны АВ, 2) уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ, 3) уравнение медианы АЕ, 4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром. А (-3, - 2), В (-1, 8), С (7, 4)

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника АВС:

А (-3, - 2), В (-1, 8), С (7, 4).

Найти :

1) уравнение стороны АВ,

Вектор АВ:((-1-(-3); (8-(-2)) = (2; 10).

Уравнение: (х + 3)/2 = (у + 2)/10    каноническое.

                     -5х + у - 13 = 0              общего вида.

                     у = 5х + 13                   с угловым коэффициентом.

2) уравнение высоты СД, опущенной из вершины С на сторону АВ,

Угловой коэффициент перпендикуляра к(СД) = -1/к(АВ) = -1/5.

Уравнение имеет вид у = кх + в.

Подставим координаты точки С:

4 = (-1/5)*7 + в, отсюда в = 4 + (7/5) = 27/5 = 5,4.

Получаем уравнение СД: у = (-1/5)х + 5,4.

                                              х + 5у - 27 = 0.

Найдём координаты точки Д как точки пересечения СД и АВ.

СД:   х + 5у - 27 = 0 |x5 = 5x + 25y - 135 = 0.

АВ:  -5х + у - 13 = 0         -5х + у - 13 = 0          

                                                26y - 148 = 0       y = 148/26 =    5,69231.

x = -5y + 27 = (-5*(74/13)) + 27 = -19/13 = -1,46154.

3) уравнение медианы АЕ,

Находим координаты точки Е как середины отрезка ВС.  В (-1, 8), С (7, 4)

Е (((-1+7)/2);( (8 + 4)/2)) = (3; 6).

Вектор АЕ = ((3 - (-3); 6 - (-2)) = (6; 8).

Уравнение АЕ: (х + 3)/6 = (у + 2)/8.

                          4х - 3у + 6 = 0.

                          у = (4/3)х + 2.

4) уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.

Находим координаты центра окружности как середины отрезка АЕ.

F(((3 + (-3)/2)); (6 + (-2))/2) =  (0; 2).

Радиус равен R = √((0 - (-3))² + (2 - (-2))²) = √(9 + 16) = 5.

Уравнение окружности: x² + (y - 2)² = 5².

А (-3, - 2), В (-1, 8), С (7, 4)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по очереди:

1. Уравнение стороны AB: Сначала найдем координаты точек A и B. A(-3, -2) и B(-1, 8). Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), можно найти с помощью уравнения прямой в общем виде:

   Уравнение прямой: y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

   Для отрезка AB: y - (-2) = ((8 - (-2)) / (-1 - (-3))) * (x - (-3)) y + 2 = (10 / 2) * (x + 3) y + 2 = 5 * (x + 3)

   Упростим уравнение: y + 2 = 5x + 15

   Теперь перепишем его в стандартной форме: 5x - y = 13

   Это уравнение представляет собой уравнение стороны AB.

2. Уравнение высоты CD, опущенной из вершины C на сторону AB: Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через точку C(7, 4). Уравнение прямой в общем виде, проходящей через точку (x1, y1) и имеющей наклон k, будет следующим:

   Уравнение прямой: y - y1 = k * (x - x1)

   Сначала найдем наклон (k) стороны AB: k = (8 - (-2)) / (-1 - (-3)) = 10 / 2 = 5

   Теперь у нас есть наклон (k) и точка C(7, 4), через которую проходит высота. Подставим эти значения в уравнение прямой: y - 4 = 5 * (x - 7)

   Упростим уравнение: y - 4 = 5x - 35

   Теперь перепишем его в стандартной форме: 5x - y = 31

   Это уравнение представляет собой уравнение высоты CD.

3. Уравнение медианы AE: Медиана делит сторону AB пополам, так что ее точка пересечения с AB будет находиться в середине AB. Середина AB можно найти, используя средние значения координат A и B:

   Середина AB: ((-3 - 1) / 2, (-2 + 8) / 2) = (-2, 3)

   Теперь у нас есть точка, через которую проходит медиана - (-2, 3). Уравнение медианы в общем виде будет следующим:

   Уравнение прямой: y - y1 = k * (x - x1)

   Где (x1, y1) - это точка, через которую проходит медиана, а k - наклон медианы. Так как медиана вертикальна, то ее наклон равен бесконечности.

   Уравнение медианы будет: x = -2

   Это уравнение представляет собой уравнение медианы AE.

4. Уравнение окружности, для которой медиана AE служит диаметром: Мы уже нашли уравнение медианы AE: x = -2. Теперь, чтобы найти уравнение окружности, нужно найти радиус, который равен половине длины медианы. Радиус также будет равен половине расстояния между точкой (-2, 3) и одной из вершин треугольника, например, точкой A(-3, -2).

   Радиус R = sqrt((-2 - (-3))^2 + (3 - (-2))^2) / 2 R = sqrt((1^2 + 5^2)) / 2 R = sqrt(26) / 2

   Теперь, у нас есть радиус, и мы знаем, что центр окружности находится на медиане AE, в точке (-2, 3). Уравнение окружности имеет следующий вид:

   (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2

   Подставляем значения: (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = (sqrt(26) / 2)^2 (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 26 / 4 (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13/2

   Это уравнение представляет собой уравнение окружности, для которой медиана AE служит диаметром.