Question

Помогите пожалуйста с решением задачи, заранее спасибо В цехе имеется 5 однотипных станков. Вероятность выхода из строя одного станка равна 0,8. Пусть случайная величина X равна количеству станков, потребовавших ремонта. Составить закон распределения этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.

Answer 1

Ответ:

X={0;1;2;3;4}

P(k)=0,8^k*(1-0,8)^(4-k)*n!/(k!*(n-k)!)

P(0) = 0,8^0*(1-0,8)^(4-0)*4!/(0!*(4-0)!) = 0,0016

P(1) = 0,8^1*(1-0,8)^(4-1)*4!/(1!*(4-1)!) = 0,0256

P(2) =0,8^2*(1-0,8)^(4-2)*4!/(2!*(4-2)!)= 0,1536

P(3) = 0,4096

P(4) = 0,4096

*********************

ответ P(к=2) =  0,1536

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для составления закона распределения случайной величины X, которая представляет собой количество станков, потребовавших ремонта, мы можем использовать биномиальное распределение. В данной задаче:

n = 5 (количество станков) p = 0.8 (вероятность выхода из строя одного станка)

Закон распределения для биномиальной случайной величины X выглядит следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k), равный C(5, k) = 5! / (k!(5-k)!).

Теперь мы можем составить закон распределения для X:

P(X = 0) = C(5, 0) * (0.8)^0 * (1-0.8)^(5-0) = 1 * 1 * 0.2^5 = 0.2^5 = 0.032 P(X = 1) = C(5, 1) * (0.8)^1 * (1-0.8)^(5-1) = 5 * 0.8 * 0.2^4 = 0.4096 P(X = 2) = C(5, 2) * (0.8)^2 * (1-0.8)^(5-2) = 10 * 0.64 * 0.2^3 = 0.2048 P(X = 3) = C(5, 3) * (0.8)^3 * (1-0.8)^(5-3) = 10 * 0.512 * 0.2^2 = 0.1024 P(X = 4) = C(5, 4) * (0.8)^4 * (1-0.8)^(5-4) = 5 * 0.4096 * 0.2^1 = 0.04096 P(X = 5) = C(5, 5) * (0.8)^5 * (1-0.8)^(5-5) = 1 * 0.32768 * 0.2^0 = 0.32768

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию для этой случайной величины:

Математическое ожидание (μ) для биномиального распределения: μ = n * p = 5 * 0.8 = 4

Дисперсия (σ^2) для биномиального распределения: σ^2 = n * p * (1-p) = 5 * 0.8 * (1-0.8) = 5 * 0.8 * 0.2 = 0.8

Теперь построим функцию распределения (CDF) для X. Для этого сложим вероятности всех значений X до заданного значения:

F(X ≤ k) = Σ P(X = i) для i от 0 до k

F(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0.032 F(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.032 + 0.4096 = 0.4416 F(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.032 + 0.4096 + 0.2048 = 0.6464 F(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.032 + 0.4096 + 0.2048 + 0.1024 = 0.7488 F(X ≤ 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0.032 + 0.4096 + 0.2048 + 0.1024 + 0.04096 = 0.78976 F(X ≤ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0.032 + 0.4096 + 0.2048 + 0.1024 + 0.04096 + 0.32768 = 1.0

Таким образом, мы составили закон распределения, вычислили математическое ожидание и дисперсию, а также построили функцию распределения для случайной величины X.