Question

Найти производную сложной функции y=cos^2 (ctg x).

Answer 1

Ответ:

$y = { \cos(ctg(x)) }^{2}$

$y' = 2 \cos(ctg(x)) \times ( - \sin(ctg(x)) \times (\frac{ - 1}{ { \sin(x) }^{2} } ) = \frac{\sin(2ctg(x))}{ { \sin(x) }^{2} }$

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции $y = \cos^2(\cot(x))$, давайте воспользуемся правилом цепочки для дифференцирования.

1. Обозначим внутреннюю функцию как $u(x) = \cot(x)$.
2. Теперь найдем производную $u(x)$: $u'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)}$
3. Теперь найдем производную внешней функции $y(u)$, где $y(u) = \cos^2(u)$. Для этого используем цепочку: $y'(u) = 2\cos(u)(-\sin(u))$
4. Теперь мы можем найти производную сложной функции $y(x) = y(u(x))$, применяя правило цепочки: $y'(x) = y'(u(x)) \cdot u'(x)$ $y'(x) = 2\cos(\cot(x))(-\sin(\cot(x))) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(x)}\right)$

Подставим значения обратно и упростим:

$y'(x) = \frac{2\cos(\cot(x))\sin(\cot(x))}{\sin^2(x)}$

Это и есть производная функции $y(x)$ по $x$:

$y'(x) = \frac{2\cos(\cot(x))\sin(\cot(x))}{\sin^2(x)}$