Question

ДАЮ 15 БАЛЛОВ Можно ли записать по кругу n целых чисел, чтобы для каждых двух соседних частное от деления большего на меньшее было простым а) при n = 10; б) при n = 11.

Answer 1

Решение

Допустим, что нашлись числа a1, a2, ..., a1995, которые можно расставить требуемым образом. Пусть число ak  (k = 1, 2, ..., 1995)  представляется в виде произведения nk простых сомножителей (не обязательно различных). Так как каждые два соседние числа отличаются друг от друга одним простым множителем, то для каждого  k = 1, 2, ..., 1994  числа nk и nk+1 отличаются на единицу, то есть имеют разную чётность. Значит, числа n1, n3, ..., n1995 должны быть одной чётности. С другой стороны, числа a1995 и a1 также соседние, поэтому n1995 и n1 должны иметь разную чётность. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Answer 2

Для каждых двух соседних чисел в последовательности, чтобы их частное от деления было простым числом, необходимо, чтобы числа в последовательности были попарно взаимно простыми (то есть их наибольший общий делитель был равен 1).

а) n = 10: Для случая n = 10, давайте рассмотрим возможные последовательности чисел:

1. 1, 2, 3, 5, 4, 9, 7, 6, 11, 10
2. 1, 2, 3, 5, 4, 7, 6, 11, 8, 9
3. 1, 2, 3, 7, 4, 5, 11, 6, 9, 8 и так далее...

Попробуем вычислить частное от деления каждой пары соседних чисел:

1. 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≈1.67, 4/5=0.8, 9/4=2.25, 7/9≈0.78, 6/7≈0.86, 11/6≈1.83, 10/11≈0.91
2. 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≈1.67, 4/5=0.8, 7/4=1.75, 6/7≈0.86, 11/6≈1.83, 8/11≈0.73, 9/8=1.125
3. 2/1=2, 3/2=1.5, 7/3≈2.33, 4/7≈0.57, 5/4=1.25, 11/5=2.2, 6/11≈0.55, 9/6=1.5, 8/9≈0.89

Из приведенных вычислений видно, что ни одна из перечисленных последовательностей не удовлетворяет условию, что для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было бы простым числом. Таким образом, при n = 10 невозможно записать такую последовательность.

б) n = 11: Аналогично, для случая n = 11, мы можем рассмотреть возможные последовательности чисел и проверить их на условие взаимной простоты:

1. 1, 2, 3, 5, 7, 4, 9, 11, 6, 8, 10
2. 1, 2, 3, 5, 7, 4, 9, 11, 6, 10, 8
3. 1, 2, 3, 5, 7, 4, 9, 11, 10, 6, 8 и так далее...

Вычислим частное от деления каждой пары соседних чисел в этих последовательностях:

1. 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≈1.67, 7/5=1.4, 4/7≈0.57, 9/4=2.25, 11/9≈1.22, 6/11≈0.55, 8/6=1.33, 10/8=1.25
2. 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≈1.67, 7/5=1.4, 4/7≈0.57, 9/4=2.25, 11/9≈1.22, 6/11≈0.55, 10/6=1.67, 8/10=0.8
3. 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3≈1.67, 7/5=1.4, 4/7≈0.57, 9/4=2.25, 11/9≈1.22, 10/11≈0.91, 6/10=0.6, 8/6=1.33

Из приведенных вычислений видно, что ни одна из перечисленных последовательностей также не удовлетворяет условию взаимной простоты для каждой пары соседних чисел при n = 11. Таким образом, при n = 11 также невозможно записать такую последовательность.