Question

вычислите объём тела,полученного при вращении вокруг оси ОХ площади,ограниченной линией 1/2 x,x=0,x=4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

строим график и видим, что в результате вращения мы получаем конус

х изменяется от 0  до 4

сверху график ограничен у=0,5х

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси OX, можно использовать метод цилиндрических оболочек. В данном случае у нас есть график функции y = 1/2x, ограниченной между x = 0 и x = 4.

Шаг 1: Определение длины дуги Сначала найдем длину дуги этой кривой на интервале [0, 4]. Для этого используется следующая формула:

L = ∫[a, b] √(1 + (f'(x))^2) dx

где a и b - границы интервала, f(x) - функция, описывающая кривую.

В данном случае, f(x) = 1/2x. Найдем производную:

f'(x) = 1/2

Теперь вычислим длину дуги:

L = ∫[0, 4] √(1 + (1/2)^2) dx L = ∫[0, 4] √(1 + 1/4) dx L = ∫[0, 4] √(5/4) dx L = (5/4)^(1/2) ∫[0, 4] dx L = (5/4)^(1/2) * [x]_0^4 L = (5/4)^(1/2) * (4 - 0) L = 2√5

Шаг 2: Вычисление объема Теперь, используя длину дуги L, мы можем вычислить объем тела при вращении кривой вокруг оси OX с использованием метода цилиндрических оболочек:

V = ∫[a, b] πy^2 dx

где a и b - границы интервала, y - высота цилиндра (в данном случае, это значение функции y = 1/2x).

V = ∫[0, 4] π(1/2x)^2 dx V = ∫[0, 4] π(1/4x^2) dx V = (π/4) ∫[0, 4] (1/x^2) dx

Теперь проинтегрируем это выражение:

V = (π/4) * [-1/x]_0^4 V = (π/4) * (-1/4 - (-1/0)) V = (π/4) * (-1/4)

Теперь умножим на (5/4)^(1/2) (длина дуги):

V = (π/4) * (-1/4) * 2√5 V = -(π/8)√5

Итак, объем тела, полученного при вращении кривой y = 1/2x вокруг оси OX на интервале [0, 4], равен -(π/8)√5 или примерно -1.7449 кубических единиц. Обратите внимание, что объем отрицательный, так как кривая находится ниже оси X.