Question

Вычислите определенные интеграл ∫(1:0) xdx/(sqrt(1+x^2))

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^1_0 {\frac{x}{\sqrt{1+x^2} } } \, dx=\frac{1}{2} \int\limits^1_0 {\frac{2x}{\sqrt{1+x^2} } } \, dx =\frac{1}{2} \int\limits^1_0 {\frac{d(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2} } } \, = \frac{1}{2}*2*\sqrt{1+x^2} |^1_0 =\sqrt{1+1^2}-\sqrt{1+0}=\sqrt{2}-1.$

Answer 2

Для вычисления данного определенного интеграла, используем подходящую замену переменных. Для этого интеграла подходит гиперболическая замена. Пусть

$u = \sinh^{-1}(x),$

где $\sinh^{-1}(x)$ - обратная гиперболическая синусоидальная функция (арксингиперболическая функция).

Теперь найдем производную $u$ по $x$:

$du = \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}}.$

Теперь мы можем переписать наш интеграл в терминах переменной $u$:

$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx = \int_{\sinh^{-1}(0)}^{\sinh^{-1}(1)} u \, du.$

Теперь вычислим этот интеграл:

$\int_{\sinh^{-1}(0)}^{\sinh^{-1}(1)} u \, du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_{\sinh^{-1}(0)}^{\sinh^{-1}(1)}.$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$\frac{(\sinh^{-1}(1))^2}{2} - \frac{(\sinh^{-1}(0))^2}{2}.$

Так как $\sinh^{-1}(0) = 0$ и $\sinh^{-1}(1) = \ln(1 + \sqrt{2})$, мы можем упростить выражение:

$\frac{(\ln(1 + \sqrt{2}))^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{(\ln(1 + \sqrt{2}))^2}{2}.$

Таким образом, значение определенного интеграла равно $\frac{(\ln(1 + \sqrt{2}))^2}{2}$.