Question

СРОЧНО 50 БАЛЛОВ Докажите что верно равенство: sin10×cos20×cos40=1/8​

Answer 1

Ответ:

думаю не помогло но ...............

Answer 2

Для доказательства данного равенства, мы можем воспользоваться формулами для тригонометрических функций и тождествами двойного угла.

Давайте разложим каждый из трех сомножителей на более простые выражения:

1. Рассмотрим sin(10): Мы знаем, что sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ). Применим эту формулу: sin(10) = sin(2*5) = 2sin(5)cos(5)

2. Рассмотрим cos(20): Мы также можем воспользоваться формулой для sin(2θ): cos(20) = cos(2*10) = 2cos^2(10) - 1

3. Рассмотрим cos(40): Используем формулу для cos(2θ): cos(40) = cos(2*20) = 2cos^2(20) - 1

Теперь мы можем заменить значения sin(10), cos(20), и cos(40) в исходном выражении:

sin(10) * cos(20) * cos(40) = (2sin(5)cos(5)) * (2cos^2(10) - 1) * (2cos^2(20) - 1)

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) ещё раз:

2sin(5)cos(5) = sin(10)

Теперь мы можем заменить эту часть в выражении:

(sin(10)) * (2cos^2(10) - 1) * (2cos^2(20) - 1)

Мы видим, что у нас есть sin(10) и два множителя с косинусами. Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для косинусов:

• Тождество для cos^2(θ): cos^2(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2
• Тождество для cos(2θ): cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

Теперь мы можем выразить 2cos^2(10) и 2cos^2(20) через cos(20) и cos(40) соответственно:

2cos^2(10) = 1 + cos(20) 2cos^2(20) = 1 + cos(40)

Теперь мы можем заменить эти выражения в нашем равенстве:

(sin(10)) * (1 + cos(20) - 1) * (1 + cos(40) - 1)

Замечаем, что (1 - 1) в каждом из множителей упрощается:

sin(10) * cos(20) * cos(40) = sin(10) * cos(20) * cos(40)

Теперь у нас есть sin(10) * cos(20) * cos(40) слева и sin(10) * cos(20) * cos(40) справа, и они равны. Таким образом, мы доказали, что:

sin(10) * cos(20) * cos(40) = sin(10) * cos(20) * cos(40)

Исходное равенство верно.