Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения x^3y'''+x^2y''=1 . желательно подробно​

Answer 1

Ответ:

ДУ с понижением порядка

Замена:

$y'' = z(x) \\ y''' = z'(x)$

${x}^{3} z'+ {x}^{2} z = 1 \\ | \div {x}^{3} \\ z'+ \frac{z}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} }$

это линейное ДУ

Замена:

$z = uv \\ z' = u'v + v'u$

$u'v + v'u + \frac{uv}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} } \\ u'v + u(v' + \frac{v}{x} )= \frac{1}{ {x}^{3} } \\ \\ 1)v' + \frac{v}{x} \\ \frac{dv}{dx} = - \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dx}{v} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = - ln(x) \\ v = \frac{1}{x} \\ \\ 2)u'v = \frac{1}{ {x}^{3} } \\ \frac{du}{dx} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{ {x}^{3} } \\ \int\limits \: du = \int\limits \frac{1}{ {x}^{2} } dx \\ u = - \frac{1}{x} + C_1 \\ \\ z = \frac{1}{x} ( - \frac{1}{x} + C_1) \\ z = - \frac{1}{ {x}^{2} } + \frac{C_1}{x} \\ \\ y'' = - \frac{1}{ {x}^{2} } + \frac{C_1}{x} \\ y'= \int\limits( - \frac{1}{ {x}^{2} } + \frac{C_1}{x} )dx = \frac{1}{x} + C_1 ln( |x| ) + C_2 \\ y = \int\limits( \frac{1}{x} + C_1 ln(x) + C_2)dx = \\ = ln( |x| ) + C_1\int\limits ln(x) dx + C_2x + C_3 \\ \\ \\ \int\limits ln(x) dx$

По частям:

$U = ln(x) \: \: \: dU = \frac{dx}{x} \\ dV = dx \: \: \: \: V = x \\ \\ x ln(x) - \int\limits \frac{dx}{x} \times x = x ln(x) - x + C = \\ = x( ln(x) - 1) + C$

Получаем:

$y = ln( |x| ) + C_1x( ln( |x| ) - 1) + C_2x + C_3$

общее решение

Answer 2

Чтобы найти общий интеграл данного дифференциального уравнения, сначала найдем его общее решение. Уравнение выглядит следующим образом:

$x^3y'''+x^2y''=1$

Для решения данного уравнения используем метод вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид:

$y(x) = u(x)v(x)$

Тогда найдем первую и вторую производные:

$y' = u'v + uv'$

$y'' = u''v + 2u'v' + uv''$

$y''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

$x^3(u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv''') + x^2(u''v + 2u'v' + uv'') = 1$

Разделим обе части на $x^2$:

$u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv''' + u''v + 2u'v' + uv'' = \frac{1}{x}$

Теперь сгруппируем члены:

$(u'''v + u''v' + uv'') + 3(u''v' + u'v'' + u'v') + (uv'' + uv''') = \frac{1}{x}$

Так как выражение в скобках не зависит от $x$, оно должно быть равно некоторой постоянной $C$:

$C + 3(u''v' + u'v'' + u'v') + (uv'' + uv''') = \frac{1}{x}$

Теперь наша задача - найти такие функции $u(x)$ и $v(x)$, что это уравнение выполняется для любых значений $x$.

Мы видим, что у нас есть три неизвестные функции ($u(x)$, $v(x)$, и константа $C$), и у нас есть только одно уравнение. Для нахождения общего решения нужно будет рассмотреть три случая:

1. $C = 0$
2. $u''v' + u'v'' + u'v = 0$
3. $u{v}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+u{v}^{}$