Question

Докажите, что при всех натуральных n, начиная с 5, 2^n>n^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Графически доказано

( график x^2 (парабола), лежит Ниже 2^x ( гипербола ) на промежутке [5; +inf) )

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, можно воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

При $n = 5$:

$2^5 = 32$ $5^2 = 25$

Так как $32 > 25$, база индукции верна.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что неравенство выполняется для некоторого $k \geq 5$, то есть:

$2^k > k^2$

Шаг 3: Шаг индукции

Рассмотрим $n = k + 1$:

$2^{k+1} = 2^k \times 2 > k^2 \times 2$

Теперь нам нужно показать, что $k^2 \times 2 > (k+1)^2$, то есть $2k^2 > k^2 + 2k + 1$.

После вычитания $k^2$ и выделения общего множителя 2 получаем неравенство:

$k^2 > 2k + 1$

Так как это неравенство верно для всех натуральных $k \geq 1$, то предположение индукции подтверждается.

Итак, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > n^2$ выполняется для всех натуральных $n\geq 5$.