Question

3. Докажите, что при любом натуральном о значение выражения (4n+5) -9 делится на 4. ​

Answer 1

$(4n + 5) - 9 = 4n + 5 - 9 = 4n - 4 = 4(n - 1)$

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Для n = 1 выражение будет следующим: (4 * 1 + 5) - 9 = 4 + 5 - 9 = 9 - 9 = 0

Это действительно делится на 4 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции Допустим, что для некоторого натурального k выполняется: (4k + 5) - 9 делится на 4.

Шаг 3: Индукционный переход Теперь докажем, что это верно и для k + 1. Рассмотрим выражение для k + 1: (4(k + 1) + 5) - 9 = (4k + 4 + 5) - 9 = (4k + 9) - 9

Теперь выразим (4k + 9) в виде (4k + 5) + 4: (4k + 5 + 4) - 9 = (4k + 5) + (4 - 9)

Так как мы уже предположили, что (4k + 5) - 9 делится на 4 (по предположению индукции), то мы можем выразить его как 4m, где m - целое число. Теперь выразим (4 - 9) как -5: (4k + 5) + (4 - 9) = 4m - 5

Теперь мы видим, что это выражение делится на 4 без остатка, так как 4m - 5 = 4m - 4 - 1 = 4(m - 1) - 1. Поскольку (m - 1) - это целое число, то выражение 4(m - 1) - 1 также делится на 4.

Таким образом, мы доказали, что если выражение (4k + 5) - 9 делится на 4 для некоторого натурального k, то оно также делится на 4 для k + 1. Это завершает доказательство методом математической индукции.

Следовательно, при любом натуральном значении n выражение (4n + 5) - 9 делится на 4.