Question

По кругу выписаны 666 цифр. Если их прочесть с некоторого места по часовой стрелке как число, то оно делится на 27. Докажите, что тогда число, прочитанное по часовой стрелке с любого другого места, тоже будет делиться на 27.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Пусть число, прочитанное по часовой стрелке с позиции a1, делится  на 27:

N1 = {a1a2a3...a666}

Рассмотрим натуральное число, прочитанное с позиции a2 по часовой стрелке:

N2 = {a2a3a4...a666a1}

Это число может быть получено из числа {a1a2a3...a666} простым преобразованием:

N2 = 10 * (N1 - a1 * 10^665) + a1 =  10 * N1 - a1*( 10^666  -1 )

Заметим, что число: 10^666  -1 состоит из 666 девяток, а значит может быть представлено в виде:  9*111111....1 (всего 666 единиц).

Поскольку сумма цифр числа: 111111....1 (всего 666 единиц) равна 666, то есть делится на 3, то по признаку делимости на 3: 111111....1 (666 единиц) делиться на 3.

Таким образом: 10^666  -1  делится на 27, при этом N1 также делиться на 27, а значит N2 делится на 27.

Как видим, если сместить кратное 27 число на 1 позицию, то полученное число тоже будет делиться на 27, иначе говоря, двигая поочередно данное число по 1 позиции, убеждаемся, что прочитанное по часовой стрелке число с любого места, тоже будет делиться на 27.​

Что и требовалось доказать.

P.S можно было оформить по методу мат. индукции, но было лень.

Answer 3

Давайте разберемся с этой задачей. Если мы имеем 666 цифр, расположенных по кругу, то они образуют число, которое можно представить в виде десятичной записи. Давайте обозначим это число как N.

Теперь предположим, что N делится на 27, то есть N = 27k для некоторого целого числа k.

Мы также знаем, что N состоит из 666 цифр, и мы можем представить его как:

N = ABCDE...XYZ

Где A, B, C, ..., Z - это цифры числа N, расположенные по часовой стрелке.

Теперь давайте рассмотрим число, которое образуется, если мы начнем с какой-либо другой цифры, скажем, с цифры B, и прочитаем 666 цифр по часовой стрелке:

N' = BCDE...XYZA

Это число N' также состоит из 666 цифр и имеет ту же длину, что и N. Мы можем представить его как:

N' = 10^665 * B + 10^664 * C + 10^663 * D + ... + 10 * Y + Z + A / 27

Теперь давайте рассмотрим выражение (N' - N). Мы можем записать это выражение следующим образом:

N' - N = (10^665 * B + 10^664 * C + 10^663 * D + ... + 10 * Y + Z + A) - (10^665 * A + 10^664 * B + 10^663 * C + ... + 10 * Z + Y) / 27

= (10^665 * (B - A) + 10^664 * (C - B) + 10^663 * (D - C) + ... + 10 * (Z - Y) + (A - Z)) / 27

Обратите внимание, что каждое слагаемое в числителе имеет вид (Xi - Xi-1), где Xi - это цифры числа N и N', и i - индекс позиции цифры. Таким образом, каждое слагаемое делится на 27 без остатка, потому что N делится на 27.

Итак, (N' - N) делится на 27 без остатка. Это означает, что число N' также делится на 27. Мы продемонстрировали, что если число N делится на 27, то и любое число, которое можно образовать, начиная с другой цифры в круге, также будет делиться на 27.