Question

Преобразовать в произведение 1+sinA+cosA

Answer 1

Ответ:

$1 + \sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) = \\ = 2 \cos( \frac{ \alpha }{2} ) \times ( \cos( \frac{ \alpha }{2} ) + \sin( \ \frac{ \alpha }{2} ))$

Пошаговое объяснение:

$1 + \sin( \alpha ) + \cos( \alpha ) = \\ = ({ \sin ^{2} ({ \frac{ \alpha }{2} } ) } + \cos ^{2} ( \ \frac{ \alpha }{2} )) + \\ + 2 \sin( \ \frac{ \alpha }{2} ) \cos( \frac{ \alpha }{2} ) + \\ + (\cos ^{2} ( \frac{ \alpha }{2} ) - \sin ^{2} ( \frac{ \alpha }{2} ) ) = \\ = 2 \cos ^{2} ( { \frac{ \alpha }{2} } ) + 2 \sin( \ \frac{ \alpha }{2} ) \cos( \frac{ \alpha }{2} ) = \\ = 2 \cos( \frac{ \alpha }{2} ) \times ( \cos( \frac{ \alpha }{2} ) + \sin( \ \frac{ \alpha }{2} ))$

Answer 2

Для преобразования выражения $1 + \sin A + \cos A$ в произведение можно воспользоваться следующими шагами:

1. Используем тригонометрическую идентичность $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, чтобы выразить $\sin A$ или $\cos A$ через другую функцию:

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ (вычитаем $\cos^2 A$ с обеих сторон)

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$ (извлекаем квадратный корень)

2. Теперь подставим это выражение для $\sin A$ в исходное выражение:

$1 + \sin A + \cos A = 1 + \sqrt{1 - \cos^2 A} + \cos A$

3. Теперь у нас есть выражение в виде суммы, и чтобы преобразовать его в произведение, можно использовать разность квадратов:

\begin{align*} 1 + \sqrt{1 - \cos^2 A} + \cos A &= 1 + \sqrt{1 - \cos^2 A} + \cos A \cdot 1 \\ &= 1 + \sqrt{1 - \cos^2 A} + \cos A \cdot \sqrt{1 - \cos^2 A} \end{align*}

Таким образом, выражение $1 + \sin A + \cos A$ можно представить в виде произведения:

$1 + \sin A + \cos A = (1 + \sqrt{1 - \cos^2 A})(1 + \cos A \cdot \sqrt{1 - \cos^2 A})$

Это и есть окончательное произведение данного выражения.